Если функция имеет все производные до
го порядка включительно, в окрестности точки
, то можно написать формулу Тейлора для любого значения n.
(12.1.48)
где остаточный член, который вычисляется по формуле
.
Если имеет производную любого порядка, то n может быть сколь угодно большим. Допустим, что в рассматриваемой окрестности при
.
Тогда переходя к пределу при , получим справа ряд, который называется рядом Тейлора для функции
:
(12.1.49)
Равенство (12.1.49) справедливо лишь в том случае, если при
, то есть (12.1.49) сходится, его сумма равна
. Докажем, что это действительно, что так:
, (12.1.50)
где
В (12.1.50) перейдем к пределу при :
, так как
. Но
есть
я частичная сумма ряда (12.1.49), ее предел равен сумме ряда
. Следовательно, равенство (12.1.49) справедливо, то есть
Итак, ряд Тейлора представляет данную функцию только тогда, когда
. Если
, то ряд не представляет данной функции, хотя может сходиться (к другой функции).
На практике чаще всего приходится иметь дело со случаем, когда и функция
разлагается в ряд непосредственно по степеням
. При
получается ряд, который называется рядом Маклорена; он имеет вид
(12.1.51)
Укажем теперь одно достаточное условие разложимости в степенной ряд.
ТЕОРЕМА 12.1.17 Пусть функция и все ее производные ограничены в совокупности на интервале , то есть существует такая постоянная
, что для всех
и всех
выполняется неравенство
. (12.1.52)
Тогда на интервале функция
раскладывается а ряд Тейлора
.
Доказательство. Для того, чтобы доказать, что функция раскладывается в ряд Тейлора, достаточно убедиться, что предел остаточного члена в формуле Тейлора стремится к нулю при
. Возьмем
в форме Лагранжа, то есть
или
,(12.1.53)
где .
Следовательно, что
, (12.1.54)
где .
Переходя в неравенстве к пределу при , получим
. (12.1.55)
Равенство нулю предела, стоящего в правой части, следует из того, что выражение является общим членом сходящегося ряда
. Но в таком случае и
имеет пределом
, что и доказывает наше утверждение.
Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >