Характер сходимости степенного ряда

ТЕОРЕМА 12.14 Степенной ряд сходится на любом отрезке, лежащем внутри интервала сходимости.

Доказательство. Пусть отрезок лежит внутри интервала сходимости ряда .

Тогда найдется такое число , , что отрезок будет содержать отрезок . Ряд абсолютно сходится при , то есть сходится ряд . Но для всех отрезка выполняется неравенство , которое означает, что ряд на отрезке по признаку Вейерштрасса равномерно сходится на этом отрезке, в частности, он равномерно сходится и на отрезке , что и требовалось доказать. Из доказанной теоремы вытекает следующее следствие.