ТЕОРЕМА 12.14 Степенной ряд сходится на любом отрезке, лежащем внутри интервала сходимости.
Доказательство. Пусть отрезок лежит внутри интервала сходимости
ряда
.
Тогда найдется такое число ,
, что отрезок
будет содержать отрезок
. Ряд
абсолютно сходится при
, то есть сходится ряд
. Но для всех
отрезка
выполняется неравенство
, которое означает, что ряд
на отрезке
по признаку Вейерштрасса равномерно сходится на этом отрезке, в частности, он равномерно сходится и на отрезке
, что и требовалось доказать. Из доказанной теоремы вытекает следующее следствие.
Следствие. Сумма степенного ряда является непрерывной функцией на интервале сходимости.
Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >