Свойство 1. Значения функции распределения удовлетворяют двойному неравенству .
Доказательство. Свойство вытекает из определения функции распределения как вероятности: вероятность – всегда неотрицательное число, не превышающее единицу.
Свойство 2. F(x,y) есть неубывающая функция по каждому аргументу, т.е.
;
.
Доказательство. Докажем, что F(x,y) – неубывающая функция по аргументу x. Событие, состоящее в том, что составляющая X примет значение, меньшее , и при этом составляющая Y < y, можно подразделить на следующие два несовместных события:
- X примет значение, меньшее
, и при этом Y < y с вероятностью
;
- X примет значение, удовлетворяющее неравенству
, и при этом Y < y с вероятностью
.
По теореме сложения,
.
Отсюда
,
или
.
Любая вероятность есть число неотрицательное, поэтому , или
, что и требовалось доказать.
Свойство становится наглядно ясным, если воспользоваться геометрическим истолкованием функции распределения как вероятности попадания случайной точки в бесконечный квадрант с вершиной (x;y). При возрастании x правая граница этого квадранта сдвигается вправо; при этом вероятность попадания случайной точки в новый квадрант, очевидно, не может уменьшиться.
Аналогично доказывается, что F(x,y) есть неубывающая функция по аргументу y.
Свойство 3. Имеют место предельные соотношения:
,
,
,
.
Доказательство
1) есть вероятность события
и Y < y; но такое событие невозможно (поскольку невозможно событие
), следовательно, вероятность этого события равна нулю.
Свойство становится наглядно ясным, если прибегнуть к геометрической интерпретации: при правая граница бесконечного квадранта неограниченно сдвигается влево и при этом вероятность попадания случайной точки в квадрант стремится к нулю.
2) Событие невозможно, поэтому
.
3) Событие невозможно, поэтому
.
4) Событие и
достоверно, следовательно, вероятность этого события
.
Свойство становится наглядно ясным, если принять во внимание, что при и
бесконечный квадрант превращается во всю плоскость xOy и, следовательно, попадание случайной точки (X;Y) в эту плоскость есть достоверное событие.
Свойство 4
а) При функция распределения системы становится функцией распределения составляющей X:
.
б) При функция распределения системы становится функцией распределения составляющей Y:
.
Доказательство.
а) Так как событие достоверно, то
определяет вероятность события X
б) Доказывается аналогично.
Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >