Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Помощь по математике Дифференциальные уравнения Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Получить решение

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1.10 Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно линейно (то есть первой степени) относительно искомой функции и ее производной.

Общий вид линейного уравнения

img001, (11.1.12)

где img002 и img003 непрерывные функции в некотором промежутке.

Онлайн помощь

Если правая часть уравнения img004, то уравнение называется линейным однородным, в противном случае оно называется неоднородным. Однородное уравнение имеет вид

img005. (11.1.13)

Уравнение (11.1.13) не требует специального рассмотрения, поскольку оно является уравнением с разделяющимися переменными.

Произведем в уравнении (11.1.12) замену функции, положив img006.

Тем самым вместо img007 в качестве искомой функции введем новую функцию, например, img008. Поэтому вторую функцию img009 можно рассматривать как вспомогательное и выбирать его по своему усмотрению. Это и будет сделано в дальнейшем (будем считать, что img010 и img011 дифференцируемые функции).

Вычислим img012 и подставим выражения img013 и img014 через img015 и img016 в уравнение (1). Так как img017, то уравнение (11.1.12) примет вид

img018. (11.1.14)

Пользуясь тем, что функция img019 может быть выбрано произвольно, выберем ее так, чтобы выражение, содержащееся в скобках, обращалось в нуль, то есть потребуем, чтобы img020. Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные, получим img021, откуда, интегрируя, имеем: img022

или img023.

Так как ищем частное решение, можно положить img024, тогда

img025. (11.1.15)

Подставив выражение img026 в уравнение (3), получим для img027 уравнение с разделяющимися переменными

img028 img029

img030 ;(11.1.16)

Формулы (11.1.15) и (11.1.16) дают выражение img031 и img032 через img033; так как нам нужно найти зависимость img034 от img035; а img036, то окончательно получим

      img037.

Это есть общее решение линейного неоднородного уравнения первого порядка, то есть уравнения (11.1.12).

ПРИМЕР 11.1.15 img038

Решение.

Здесь img039. Сделаем подстановку img040, отсюда img041; подставляя img042 и img043 в данное уравнение, получим img044. Подберем функцию img045 таким образом, чтобы img046. Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные и, проинтегрировав, получим

img047 или img048 при img049

img050.

Итак, img051 общее решение данного уравнения.

Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >

Получить решение по теме

Сохранить или поделиться
Вы находитесь здесь:
Помощь по математике Дифференциальные уравнения Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Помощь по математике. Онлайн решение задач, контрольных работ и помощь на жкзаменах

У нас можно заказать решение задач
и онлайн помощь на экзаменах

Математика - решение задач и помощь онлайн 24/7