Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1.10 Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно линейно (то есть первой степени) относительно искомой функции и ее производной.

Общий вид линейного уравнения

, (11.1.12)

где и непрерывные функции в некотором промежутке.

Помощь с решением задач

Если правая часть уравнения , то уравнение называется линейным однородным, в противном случае оно называется неоднородным. Однородное уравнение имеет вид

. (11.1.13)

Уравнение (11.1.13) не требует специального рассмотрения, поскольку оно является уравнением с разделяющимися переменными.

Произведем в уравнении (11.1.12) замену функции, положив .

Тем самым вместо в качестве искомой функции введем новую функцию, например, . Поэтому вторую функцию можно рассматривать как вспомогательное и выбирать его по своему усмотрению. Это и будет сделано в дальнейшем (будем считать, что и дифференцируемые функции).

Вычислим и подставим выражения и через и в уравнение (1). Так как , то уравнение (11.1.12) примет вид

. (11.1.14)

Пользуясь тем, что функция может быть выбрано произвольно, выберем ее так, чтобы выражение, содержащееся в скобках, обращалось в нуль, то есть потребуем, чтобы . Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные, получим , откуда, интегрируя, имеем:

или .

Так как ищем частное решение, можно положить , тогда

. (11.1.15)

Подставив выражение в уравнение (3), получим для уравнение с разделяющимися переменными

;(11.1.16)

Формулы (11.1.15) и (11.1.16) дают выражение и через ; так как нам нужно найти зависимость от ; а , то окончательно получим

Это есть общее решение линейного неоднородного уравнения первого порядка, то есть уравнения (11.1.12).

ПРИМЕР 11.1.15

Решение.

Здесь . Сделаем подстановку , отсюда ; подставляя и в данное уравнение, получим . Подберем функцию таким образом, чтобы . Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные и, проинтегрировав, получим