Математическое описание самых разнообразных процессов, происходящих в природе, приводит часто к уравнениям, связывающим независимую переменную, искомую функцию (одной переменной) и производные (дифференциалы) этой функции.
Такого рода уравнения называются дифференциальными.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1.1 Если в дифференциальные уравнения входит только независимая переменная, функция от этой переменной и ее первая производная, то уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка. В общем виде его можно записать так:
.
Если оно разрешено относительно производной, то его можно записать в виде
Если дифференциальное уравнение содержит еще и производную второго порядка от искомой функции, то оно называется дифференциальным уравнением второго порядка.
или 
.
Аналогично дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение, которое содержит производную n-го порядка, но не выше
,
.
Из вышеизложенного следует, что порядком дифференциального уравнения называется наивысший из порядков производных, входящих в это уравнение.
Во всяком дифференциальном уравнении неизвестной величиной, которую надо найти, является функция, входящая в уравнение вместе с некоторыми производными.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1.2 Решением дифференциального уравнения 
го порядка 
в области D называется всякая функция 
, которая удовлетворяет этому уравнению, то есть
.
Рассмотрим несколько задач из различных областей естествознания, приводящих в процессе своего решения к дифференциальным уравнениям.
ПРИМЕР 11.1.1 Тело температуры 
помещается в среду с температурой 
. Тело начинает охлаждаться. Требуется найти формулу, по которой можно определить температуру тела в любой момент времени.
Решение.
Для математического описания этого процесса нужно выбрать независимую переменную; таковой в данном случае является время. Будем вести отсчет времени от того момента, когда тело поместим в среду температуры 
, начинается процесс его охлаждения. Искомой функцией в данном случае является меняющаяся со временем температура тела, обозначим ее 
.
Из физики известен следующий закон: скорость охлаждения какого-либо тела пропорциональна разности между температурами тела и среды. Но скорость охлаждения – это скорость изменения (убывания) температуры; скорость изменения какой-либо функции есть производная от этой функции. Таким образом, сформулированный выше закон можно математически записать следующим образом:
, (11.1.1)
где 
коэффициент пропорциональности.
Соотношение (11.1.1) представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка, из которого нужно найти выражение температуры через время 
. Для нахождения 
перепишем уравнение (11.1.1) в виде
или 
,
но из интегрального исчисления мы знаем: если производные или дифференциалы двух функций равны, то сами функции отличаются друг от друга на 
(11.1.2)
Формула (11.1.2) дает выражение температуры как функция времени. Но в эту формулу входит произвольная постоянная 
, следовательно, формула (11.1.2) дает не один ответ на поставленный в задаче вопрос. Естественно ожидать, что при решении определенной задачи с конкретными заданными условиями должен получиться один определенный ответ. Но мы пока не использовали условие, что в начальный момент времени температура тела была 
. Используя это условие (начальное условие), мы получим из (11.1.2)
то есть 
или C=Lnθ0. Подставляя найденное значение C в (11.1.2), получим
,
Таким образом, получили один определенный ответ на поставленный в задаче вопрос.
ПРИМЕР 11.1.2 Пусть два вещества 
и 
, находящиеся в растворе, вступают в необратимую химическую реакцию. Требуется найти формулу, по которой можно было бы подсчитать в любой момент времени количество вещества, уже вступившего в реакцию.
Решение.
Обозначим через 
и 
количество этих веществ (в грамм-молекулах на единицу объема) в начале реакции, то есть при 
, и через 
одинаковое количество того и другого вещества, уже вступившего в реакцию к моменту времени 
. В этот момент времени в единице объема находится a-x грамм-молекул вещества 
и 
грамм-молекул вещества 
. Известно, что по закону химического взаимодействия масс скорость химической реакции пропорциональна произведению 
. Так как скорость химической реакции есть скорость увеличения 
, то она является производной от 
по времени, поэтому закон химического воздействия масс может быть записан следующим образом:
, (11.1.3)
где 
коэффициент пропорциональности.
Уравнение (11.1.3) есть дифференциальное уравнение перового порядка, где искомой функцией является 
.
Для того, чтобы найти 
, поступаем так же, как и в задаче
откуда
где 
. Используя начальное условие, получим
Отсюда найдем 
:
Эта формула и дает окончательное выражение для количества вещества, вступившего в реакцию к моменту времени 
.
ПРИМЕР 11.1.3 Найти кривые, обладающие в каждой точке тем свойством, что
отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится в точке
касания пополам.
Решение.
Пусть 
произвольная точка кривой, обладающая требуемым свойством (рис.1). 
.
Из треугольника 
имеем
, так как
(по теореме Фалеса),
, то приходим к соотношению
или 
;
или 
Решением является множество, зависящее от одного параметра семейства равносторонних гипербол, для которых оси координат служат асимптотами.
Не существует каких-либо общих правил для составления дифференциальных уравнений по условиям конкретной задачи. Условия задачи должны быть таковы, чтобы позволяли составить соотношение, связывающее независимое переменное, функцию и ее производную (или производные). Если это задача геометрического характера, то наличие в ее данных касательной (нормали) или некоторых связанных с ней отрезков дает возможность написать соотношение между координатами точек кривой и угловым коэффициентом кривой (пример 11.1.3). В задачах физического, механического или химического характера, в случае, если задается скорость какого-нибудь процесса, бывает возможно сразу написать соответствующее дифференциальное уравнение (примеры 11.1.1 и 11.1.2). В других случаях предварительно устанавливается соотношение между приращениями переменных, затем переходом к пределу получают дифференциальное уравнение.
Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >
