Пусть проводится n испытаний, причем выполняются следующие условия:

• испытания независимы, то есть начальные условия перед каждым испытанием абсолютно одинаковы;
• в каждом испытании интересующее нас событие A может произойти с вероятностью p.

Тогда вероятность того, что в n испытаниях событие A наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), вычисляется по формуле Бернулли

, где .

В случае, если n велико, то есть (значительно больше 1), то данную вероятность можно найти по асимптотической формуле (локальная теорема Лапласа):

, где .

Функция определяется формулой .

Таблица значений функции для положительных значений x приведена в приложении 1; для отрицательных значений x надо помнить, что .

В тех случаях, когда число испытаний n велико, а вероятность p мала пользуются формулой Пуассона:

,

где среднее число появлений события в различных сериях испытаний.

Вероятность того, что в n независимых испытаниях ( n велико) событие наступит не менее раз и не более раз, приближенно равна

,

где .

Функция определяется формулой .

Таблица значений функции Лапласа для положительных значений x приведена в приложении 2; для значений полагают . Для отрицательных значений x используют ту же таблицу, учитывая, что функция Лапласа нечетная, то есть .
Последняя формула носит название интегральной теоремы Лапласа. Она тем точнее, чем больше значение n.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ПРИМЕР 13.2.33. Бросаются 3 игральные кости. Какова вероятность того, что выпадет одна шестерка?

Решение. Из условия задачи . Рассматривается событие A — выпадение шестерки при одном броске кости. Тогда .
.

ПРИМЕР 13.2.34. В лаборатории проводится серия из 400 опытов по обнаружению микроба в растворе. Вероятность появления микроба в каждом отдельном опыте равно 0,2. Найти вероятность того, что микроб будет обнаружен в 80 опытах.

Решение. Очевидно, что при пользоваться формулой Бернулли практически невозможно из-за необходимости вычислять факториалы больших чисел. Воспользуемся локальной теоремой Лапласа. Итак,

, ,, .

Найдем значение функции по таблице: .
.

ПРИМЕР 13.2.33. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равно 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия.

Решение. По условию n -велико; p — мало. Найдем

.

По формуле Пуассона искомая вероятность приближенно равна

.

ПРИМЕР 13.2.34. Монета бросается 5 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет не менее четырех раз?

Решение.

,

,

.

Тогда требуемая вероятность .

ПРИМЕР 13.2.35. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК равно 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется непроверенных от 70 до 100 деталей.

Решение. Требуется найти вероятность . Однако решить задачу как в предыдущем случае невозможно, поэтому воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

; .

По таблице находим и .

Искомая вероятность

.

Примеры и задачи для самостоятельного решения

Решить задачи, используя формулы расчета вероятности при повторных испытаниях

3.2.6.1. Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее: а) выиграть одну партию из двух или две партии из четырех? б) выиграть не менее двух партии из четырех или не менее трех партий из пяти? Ничьи во внимание не принимаются.

Отв.:

3.2.6.2. В семье 5 детей. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятности того, что среди этих детей а) два мальчика; б) не более двух мальчиков; в) более двух мальчиков; г) не менее двух и не более трех мальчиков.

Отв.:а)0,31;б) 0,48;в) 0,52;г) 0,62

3.2.6.3. Произведено 8 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события A равна 0,1. Найти вероятность того, что событие A появится хотя бы 2 раза.

Отв.:0,19

3.2.6.4. Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре бывает в среднем 12 дождливых дней. Какова вероятность того, что в следующем году из 8 первых дней сентября 3 окажутся дождливыми?

Отв.:

3.2.6.5. Для прядения поровну смешаны белый и окрашенный хлопок. Какова вероятность среди пяти случайно выбранных волокон смеси обнаружить менее двух окрашенных?

Отв.:3/16

3.2.6.6. Вероятность получения удачного результата при производстве сложного химического опыта равна 2/3. Найти вероятность того, что пять опытов пройдут удачно, если их общее число а) шесть; б) 120.

Отв.:a)0,26 ,) 0

3.2.6.7. Отрезок разделен точкой C в отношении 2:1. На этот отрезок наудачу брошены четыре точки. Найти вероятность того, что две из них окажутся левее точки C и две – правее. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

Отв.:

3.2.6.8. На отрезок AB длины наудачу брошено пять точек. Найти вероятность того, что две точки будут находиться от точки A на расстоянии, меньшем x, а три – на расстоянии, большем x. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

Отв.:

3.2.6.9. Отрезок разделен на четыре равные части. На отрезок наудачу брошено восемь точек. Найти вероятность того, что на каждую из четырех частей отрезка попадет по две точки. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

Отв.:

3.2.6.10. Монета подбрасывается 10 раз. Определить погрешность локальной теоремы Лапласа при определении вероятностей следующих событий: а) «герб» выпадет 2 раза; б) «герб» выпадет 5 раз.

Отв.:По локальной теореме Лапласа: а) 0,0415; б) 0,2523; по формуле Бернулли: а) 0,04395; б) 0,2051

3.2.6.11. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена: а) ровно 75 раз; б) не менее 75 и не более 90 раз; в) не более 74 раз; г) не менее 75 раз.

Отв.:а)0,04565; б)0,8882; в)0,1056; г)0,8944;

3.2.6.12. Из колоды кар (36 листов) наудачу достается одна карта, запоминается и возвращается в колоду, после чего колода перемешивается. Какова вероятность того, что при 10 повторениях опыта «пика» появится 2 раза. Сравнить результаты, полученные по локальной теореме Лапласа и формуле Бернулли.

Отв.:. 0,272 и 0,2816

3.2.6.13. Вероятность появления события в каждом из 21 независимых испытания равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится в большинстве испытаний.

Отв.:0,95945

3.2.6.14.Монета брошена 2N раз (N велико!). Найти вероятность того, что число выпадений «герба» будет заключено между числами и .

Отв.: 0,6826

3.2.6.15. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равно 0,8. Сколько необходимо произвести испытаний, чтобы с вероятностью 0,9 можно было ожидать, что событие появится не менее 75 раз?

Отв.: 100

3.2.6.16. Вероятность появления положительного результата в каждом из опытов равна 0,9. Сколько нужно провести опытов, чтобы с вероятностью 0,98 можно было ожидать, что не менее 150 опытов дадут положительный результат?

Отв.: 177

3.2.6.17. Прядильщица обслуживает 100 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты 0,004. Найти вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет на пяти веретенах.

Отв.: 0,0000572

3.2.6.18. Коммутатор учреждения обслуживает 100 абонентов. Вероятность того, что в течение одной минуты абонент позвонит на коммутатор равно 0,02. Какое из двух событий вероятнее: в течение одной минуты позвонят 3 абонента или позвонят 4 абонента?

Отв.: 0,18; 0,09

3.2.6.19. Найти среднее число опечаток на странице рукописи, если вероятность того, что страница рукописи содержит хотя бы одну опечатку равна 0,95. Предполагается, что число опечаток распределено по закону Пуассона.
Указание. Задача сводится к отысканию параметра из уравнения .

Отв.: 3

3.2.6.20. Средняя плотность болезнетворных микробов в одном кубическом метре воздуха равна 100. Берется на пробу 2 дм3 воздуха. Найти вероятность того, что в нем будет обнаружен хотя бы один микроб.

Отв.: 0,1813

3.2.6.21. Тигр-альбинос появляется в природе в среднем один на десять тысяч особей. В год рождается около 500 особей. Какова вероятность появиться в текущем году двум тиграм-альбиносам?

Отв.: 0,00119

3.2.6.22. В книге, состоящей из 500 страниц, обнаружено 15 опечаток. Какова вероятность обнаружить на странице, открытой наудачу 2 опечатки, если на каждой странице в среднем 1400 знаков?

Отв.: 0,00044

3.2.6.23. При тестировании 100 дискет Sony обнаружено 30 сбойных кластеров. Какова вероятность купить дискету с 3 сбойными кластерами, если она содержит 2847 кластеров?

Отв.: 0,00333

3.2.6.24. Морская луна-рыба откладывает икринок, однако лишь около 10 из них становятся рыбами, остальные погибают от различных причин. Определить вероятность того, что из икринок вырастут 2 рыбы.

Отв.: 0,00054

3.2.6.25. Коккер-спаниель при обследовании багажа на наличие наркотиков ошибается в среднем один раз на 1200 проверок. Какова вероятность двух ошибок собаки в течение дня, если за день проверяется до 800 единиц багажа?

Отв.: 0,11409

3.2.6.26. Имеется общество из 500 человек. Найти вероятность того, что день рождения у двух человек придется на Новый год. Считать, что вероятность рождения в фиксированный день у каждого члена общества равна 1/365.

Отв.:0,2385

3.2.6.27. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету 0,01 . Сколько нужно купить билетов, чтобы выиграть хотя бы по одному из них с вероятностью, не меньшей, чем 0,95?

Отв.:

Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >