ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.2.14 Функциональный ряд вида
(12.2.16)
называется тригонометрическим рядом.
ПРИМЕР 12.2.27 Разложить в ряд Фурье функцию 
с периодом 
, если 
.
Решение.
Функция 
удовлетворяет условиям Дирихле, следовательно, она допускает разложение в ряд Фурье.
Находим 
:
(так как 
нечетная).
Определим 
и 
:
(так как 
есть функция нечетная как произведение четной функции на нечетную, то определенный интеграл в симметричных пределах интегрирования относительно нуля от нечетной функции равен нулю).
.
Таким образом, получаем ряд
Это равенство имеет место во всех точках, кроме точек разрыва. В каждой точке разрыва сумма ряда равно среднему арифметическому ее пределов справа и слева, то есть равна нулю.
ПРИМЕР 12.2.28 Разложить в ряд Фурье функцию 
с периодом 
, которая на отрезке 
задана равенством 
.
Решение.
График функции изображен на рис. 12.2.1 Как видно на рис. 12.2.1 функция на отрезке 
задана двумя формулами
и вычисление коэффициентов ряда Фурье по формулам (12.1.91), (12.1.101), (12.1.103) неудобно, так как в каждом из интегралов интервал интегрирования приходится разбивать на два: от 
до 
и от 
до 
. В то же время на отрезке 
функция гораздо проще, она задается одной формулой 
. Поэтому для вычисления коэффициентов ряда Фурье удобнее формулы (12.1.105) при 
.
Тогда разложение функции в ряд Фурье будет иметь вид
.
Этот ряд дает заданную функцию во всех точках, кроме точек разрыва (то есть кроме точек 
). В этих точках сумма ряда равна полусумме предельных значений функции 
справа и слева, в данном случае числу 
.
ПРИМЕР 12.2.29 Разложить в ряд Фурье функцию 
периода 
.
Решение.
Данная функция четная. Тогда ее ряд Фурье содержит только косинусы 
. Вычислим коэффициенты 
:
.
Таким образом, 
.
ПРИМЕР 12.2.30 Разложить в ряд Фурье периодическую функцию 
с периодом 
, которая определена следующим образом: 
Решение.
Эта функция нечетная. Тогда ее ряд Фурье содержит только синусы 
. Вычислим коэффициент 
:
.
Следовательно, для рассматриваемой функции ряд Фурье имеет вид
.
Это равенство справедливо во всех точках, кроме точек разрыва.
ПРИМЕР 12.2.31 Разложить в ряд Фурье периодическую функцию 
с периодом 
, которая на отрезке 
задается равенством
Решение.
Определим коэффициенты Фурье
Таким образом, ряд Фурье для этой функции будет иметь вид
ПРИМЕР 12.2.32 Требуется разложить функцию 
на отрезке 
в ряд по синусам.
Решение.
Продолжая эту функцию нечетным образом, получим
, так что
.
Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >
