Суммой двух событий A и B называется событие C=A+B, состоящее в появлении или события A, или события B, или обоих вместе. Ключевое слово «или» («либо»).

Произведением двух событий A и B называется событие C=AB, состоящее в совместном выполнении события A и события B. Ключевое слово «и».

Два события называются несовместными, если они не могут появиться одновременно.

Теорема сложения.

для несовместных событий;

для совместных событий.

Два события называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от появления или непоявления другого.

Условной вероятностью называют вероятность события A, вычисленную в предположении, что событие B уже наступило.

Теорема умножения.

для независимых событий;

для зависимых событий.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ПРИМЕР 13.2.26. В урне 3 красных и 4 белых шара, 5 красных, 2 белых и 6 черных кубов. Из урны наудачу вынимается одно изделие. Найти вероятность того, что выбранное изделие а) либо белое, либо черное; б) либо красное, либо куб.

РЕШЕНИЕ: а) Рассмотрим события:

A — изделие белое; , так как всего изделий 20, а белых шесть.

B — изделие черное, .

Событие C — изделие либо белое, либо черное можно представить как сумму событий A и B. Следовательно, .

События A и B несовместны, так как вынутое изделие не может быть одновременно и белым и черным. Тогда .

б) Введем события

D — изделие красное; ;

E — изделие куб; ;

F — изделие либо красное, либо куб; .

События D и E совместны, так как вынутое изделие может оказаться красным кубом . Тогда

.

ПРИМЕР 13.2.27. В ящике 10 деталей, 3 из которых бракованные. Наудачу вынимают два изделия. Найти вероятность того, что оба изделия бракованные, если первое изделие: а) возвращается в ящик; б) в ящик не возвращается.

РЕШЕНИЕ. Введем события

A — первое изделие бракованное,

B — второе изделие бракованное,

C — оба изделия бракованные.

Событие C представляет собой произведение событий A и B; C=AB.

а) Если первое изделие возвращается в ящик, то вне зависимости от того, какое изделие было первое, то есть A и B — независимые события. Тогда .

б) Если изделие не возвращается, то вероятность события B будет меняться в зависимости от того, какое изделие было вынуто первым (бракованное или небракованное). Найдем вероятность события B в предположении, что первое изделие оказалось бракованным. , так как всего осталось 9 изделий, два из которых бракованные. Тогда

.

ПРИМЕР 13.2.28. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет: а) только один из стрелков; б) хотя бы один стрелок.

РЕШЕНИЕ. Рассмотрим события

первый стрелок попал; ;

первый стрелок промахнулся; ;

второй стрелок попал; ;

второй стрелок промахнулся; .

а) Событие B попал только один стрелок, используя алгебру событий, можно представить в виде
.

Тогда по теореме сложения вероятностей несовместных и умножения независимых событий имеем:

.

б) Событие C попал хотя бы один стрелок можно представить как сумму двух несовместных событий: B — попал только один стрелок и D- попали оба стрелка

.

Однако вероятность события C можно найти другим способом. Рассмотрим событие оба промахнулись,

.

Тогда .

ПРИМЕР 13.2.29. Вероятность выхода из строя хотя бы одного их трех станков в течение смены равна 0,488. Найти вероятность выхода из строя одного станка за смену, если вероятности выхода из строя каждого станка одинаковы.

РЕШЕНИЕ. Пусть A — выход из строя хотя бы одного станка. Тогда нормальная работа всех трех станков; . Обозначим через p вероятность нормальной работы каждого станка, тогда или . Вероятность выхода из строя каждого станка вычисляется .

Примеры и задачи для самостоятельного решения

Решить задачи, используя теоремы сложения и умножения вероятностей

13.2.4.1. В читальном зале имеется шесть учебников по теории вероятностей, из которых три в переплете. Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.

13.2.4.2. В урне белых и черных шаров. Из урны вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара будут белыми, если выемку производить: а) с возвращением; б) без возвращения.

13.2.4.3. В мешке смешаны нити, среди которых 30% белых, а остальные – красные. Определить вероятности того, что вынутые наудачу две нити будут а) одного цвета; б) разных цветов.

13.2.4.4. Устройство состоит из трех элементов, работающих независимо. Вероятности безотказной работы за определенный промежуток времени первого, второго и третьего элемента соответственно равны 0,6;0,7;0,8. Найти вероятности того, что за это время безотказно будут работать: а) только один элемент; б) только два элемента; в) все три элемента; г) хотя бы два элемента.

13.2.4.5. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна 0,4. Произведены три независимых измерения. Найти вероятность того, что только в одном из них допущенная ошибка превысит заданную точность.

13.2.4.6. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равно 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8.

13.2.4.7. Брошены три игральные кости. Найти вероятности следующих событий: а) на каждой из выпавших граней появится пять очков; б) на всех выпавших гранях появится одинаковое число очков; в) на двух выпавших гранях появится одно очко, а на третьей грани – другое число очков; г) на всех выпавших гранях появится разное число очков.

13.2.4.8. Вероятность попадания в мишень стрелком при одном выстреле равна 0,8. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью меньшей 0,4, можно было ожидать, что не будет ни одного промаха?

13.2.4.9. Сколько раз нужно бросить игральную кость, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,9, хотя бы один раз выпала «шестерка»?
13.2.4.10. Монета бросается до тех пор, пока 2 раза подряд она не выпадет одной и той же стороной. Найти вероятности следующих событий: а)опыт окончится до шестого бросания; б) потребуется четное число бросаний.

13.2.4.11. Числитель и знаменатель рациональной дроби написаны наудачу. Какова вероятность того, что эта дробь несократима на 5?

13.2.4.12. Из цифр 1,2,3,4,5 сначала выбирается одна, а затем из оставшихся четырех – вторая цифра. Предполагается, что все 20 возможных исходов равновероятны. Найти вероятность того, что будет выбрана нечетная цифра а) в первый раз; б) во второй раз; в) в оба раза.

13.2.4.13. Найти вероятность того, что наудачу взятое натуральное число, не превосходящее 100, будет делиться а) на 2 или на 5; б) и на 2, и на 5.

13.2.4.14. Три команды спортивного общества состязаются соответственно с тремя командами общества . Вероятности того, что команды общества выиграют матчи у команд общества таковы: при встрече с 0,8; с 0,4; с 0,4. Для победы необходимо выиграть не менее двух матчей из трех (ничьи во внимание не принимаются). Победа какого из обществ вероятнее?

13.2.4.15. Возле остановки останавливаются трамваи маршрутов 2,4,5,9. Для рабочего попутными являются маршруты 5 и 9. Вычислить вероятность того, что к остановке первым подойдет трамвай маршрута попутного для него номера, если по линиям маршрутов №2,4,5,9 курсируют соответственно 15,12,10,13 поездов. Протяженности маршрутов считаются одинаковыми.

13.2.4.16. Вероятность того, что в мужской обувной секции магазина очередной будет продана пара обуви 46-го размера равна 0,01. Сколько должно быть продано пар обуви в магазине, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,9 можно было ожидать, что будет продана хотя бы одна пара обуви 46-го размера.

13.2.4.17. В урне имеется пять шаров с номерами от 1 до 5. Наудачу по одному извлекают три шара без возвращения. Найти вероятность следующих событий: а) последовательно появятся шары с номерами 1,4,5; б) извлеченные шары будут иметь номера 1,4,5 независимо от того, в какой последовательности они появились.

13.2.4.18. В круг радиуса вписан правильный треугольник. Внутрь круга наудачу брошены четыре точки. Найти вероятности следующих событий: а) все четыре точки попадут внутрь треугольника; б) одна точка попадет внутрь треугольника и по одной точке попадает на каждый «малый» сегмент. Предполагается, что вероятность попадания точки в фигуру пропорциональна площади фигуры и не зависит от ее расположения.

13.2.4.19. Отрезок разделен на три равные части. На этот отрезок наудачу брошены три точки. Найти вероятность того, что на каждую из трех частей отрезка попадет по одной точке. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

13.2.4.20. Три самолета независимо друг от друга производят одиночное бомбометание по некоторой цели. Первый самолет сбрасывает 4 бомбы по 250 кг, второй – 2 бомбы по 500 кг, третий – 1 бомбу в 1000 кг. Вероятность попадания для первого самолета равна 0,2, для второго – 0,3, для третьего – 0,4. Для разрушения цели достаточно попадания одной бомбы весом не менее 500 кг или двух – весом по 250 кг. Найти вероятность разрушения цели.

13.2.4.21. При одном цикле обзора радиолокационной станции, следящей за космическим объектом, объект обнаруживается с вероятностью . Обнаружение объекта в каждом цикле происходит независимо от других циклов сканирования. Найти вероятность того, что при циклах объект будет обнаружен.

13.2.4.22. Имеется коробка с девятью новыми теннисными мячами. Для игры берут три мяча и после игры их кладут обратно. При выборе мячей новые от использованных не отличают. Какова вероятность того, что после трех игр не останется новых мячей?

13.2.4.23. Слово «лотос», составленное из букв – карточек, рассыпано на отдельные буквы, которые тщательно перемешаны. Из них выбираются последовательно три карточки. Какова вероятность того, что при этом появится слово «сто»?

13.2.4.24. Подбрасываются две игральные кости. Найти вероятность того, что произведение числа очков на первой и второй кости будет четным числом.

13.2.4.25. Вероятность попадания в первую мишень для данного стрелка равна 2/3. Если при первом выстреле зафиксировано попадание, то стрелок получает право на второй выстрел по другой мишени. Вероятность поражения обеих мишеней при двух выстрелах равна 0,5. Определить вероятность поражения второй мишени.

13.2.4.26. На пяти карточках написаны цифры от 1 до 5. Друг за другом вытаскивают три карточки и в порядке поступления записывают число. Вероятность какого события выше: “число меньше 450” или ”число больше 200”?

Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >