ТЕОРЕМА 12.1.15 Степенной ряд 
в промежутке 
, где 
, всегда можно интегрировать почленно, то есть
,
где 
сумма ряда.
Доказательство. Выберем число 
между 
и 
. Тогда ряд 
сходится равномерно на отрезке 
, а по теореме о почленном интегрировании функциональных рядов на отрезке 
ряд можно почленно интегрировать.
ТЕОРЕМА 12.1.16 Степенной ряд 
внутри его интервала сходимости можно дифференцировать почленно, то есть
,
где 
сумма ряда.
Доказательство. Для любого 
можно выбрать два числа 
и 
так, чтобы 
. Ввиду сходимости ряда 
его общий член ограничен: 
.
Тогда при 
,
где 
.
Члены ряда 
для указанных значений 
, не превосходят соответствующих членов ряда:
. (12.1.45)
Принимая во внимание, что 
, ряд (1) по признаку Даламбера сходится. Поэтому ряд 
на отрезке 
сходится равномерно, а по теореме о почленном дифференцировании функциональных рядов ряд 
можно почленно дифференцировать на отрезке 
и, в частности, при 
.
Следствие 1. Степенной ряд 
в интервале сходимости можно почленно дифференцировать любое число раз, причем ряды, полученные в результате дифференцирования, сходятся в том же интервале.
Замечание. В теоремах (12.1.14) и (12.1.15) показано, что ряды 
и 
сходятся на интервале 
, следовательно, их радиусы сходимости не меньше 
. Но, в свою очередь, ряд 
получается почленным дифференцированием ряда 
и почленным интегрированием ряда 
, так что 
не может быть меньше упомянутых радиусов 
. Из сказанного вытекает, что радиусы сходимости рядов 
, 
и 
равны между собой.
Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >
