Дан степенной ряд 
. Требуется определить его интервал сходимости. Для решения поставленной задачи поступаем следующим образом:
а) определяем радиус сходимости степенного ряда по формулам (12.1.43) или (12.1.44);
б) записываем интервал сходимости 
;
в) проверим поведение ряда на концах интервала 
. В ряд вместо 
подставляем 
или 
, в результате чего получаем знакоположительные или знакочередующиеся числовые ряды, к которым применяем соответствующие признаки сходимости;
г) если при 
числовые ряды сходятся, то данный степенной ряд сходится на отрезке 
.
Если при 
числовые ряды расходятся, то данный степенной ряд сходится на интервале 
.
Если при 
числовой ряд сходится, а при 
расходится или, наоборот, при 
расходится, а при 
сходится, то данный степенной ряд сходится на полуинтервале 
или 
.
ПРИМЕР 12.1.15 Определить интервал сходимости ряда
.
Решение. Определим радиус сходимости по формуле (12.1.43), для чего запишем 
и 
.
и 
, тогда
.
Так как 
, то интервал сходимости будет иметь вид 
.
Проверим поведение ряда на концах интервала. Подставим в данный ряд вместо 
число: 
, получим числовой ряд 
. Полученный числовой знакопостоянный ряд является гармоническим рядом и расходится. При 
получаем числовой знакочередующийся ряд 
, который сходится, так как для него выполняются условия теоремы Лейбница, а именно: члены ряда убывают по абсолютной величине, то есть 
и 
. Следовательно, данный степенной ряд сходится на полуинтервале 
.
Отметим, что если 
, то интервал сходимости вырождается в точку, если 
, то интервал сходимости 
.
ПРИМЕР 12.1.16 Определить интервал сходимости ряда
.
Решение. Вычислим радиус сходимости
.
Таким образом, интервал сходимости этого ряда состоит из всех вещественных чисел 
.
ПРИМЕР 12.1.17 Определить интервал сходимости ряда
.
Решение. Вычислим радиус сходимости
. Итак, 
интервал сходимости вырождается в точку, то есть данный ряд сходится лишь при 
.
Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >