Ряды по степеням (x-x0)
Функциональный ряд вида
(12.1.46)
называется степенным рядом по степеням разности 
. Нетрудно заметить, что при 
из ряда (1) получается известный степенной ряд 
. Следовательно, ряд 
является частным случаем ряда (12.1.46).
Для определения интервала сходимости ряда (12.1.46) сделаем в нем замену: 
. Тогда ряд (12.1.46) примет вид
. (12.1.47)
Ряд (12.1.47) по степеням 
. Пусть интервал сходимости ряда (12.1.47) 
.
Отсюда следует, что ряд (12.1.46) будет сходиться при значениях 
, удовлетворяющих неравенству 
или 
и расходиться при 
. Следовательно, интервалом сходимости данного ряда будет интервал 
с центром в точке 
.
Замечание. Все сказанное о степенных рядах по степеням 
остается справедливым и для степенных рядов по степеням разности 
в соответствующих интервалах сходимости.
ПРИМЕР 12.1.18 Найти радиус сходимости ряда 
.
Решение. Найдем радиус сходимости
При 
получим числовой ряд 
, который сходится, так как является обобщенным гармоническим рядом с 
.
При 
получим числовой знакочередующийся ряд 
, для которого выполняются условия теоремы Лейбница, и он сходится. Следовательно, областью сходимости данного ряда является отрезок 
.
Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >
