Если функция 
имеет все производные до 
го порядка включительно, в окрестности точки 
, то можно написать формулу Тейлора для любого значения n.
(12.1.48)
где 
остаточный член, который вычисляется по формуле
.
Если имеет производную любого порядка, то n может быть сколь угодно большим. Допустим, что в рассматриваемой окрестности 
при 
.
Тогда переходя к пределу при 
, получим справа ряд, который называется рядом Тейлора для функции 
:
(12.1.49)
Равенство (12.1.49) справедливо лишь в том случае, если 
при 
, то есть (12.1.49) сходится, его сумма равна 
. Докажем, что это действительно, что так:
, (12.1.50)
где
В (12.1.50) перейдем к пределу при 
:
, так как 
. Но 
есть 
я частичная сумма ряда (12.1.49), ее предел равен сумме ряда 
. Следовательно, равенство (12.1.49) справедливо, то есть
Итак, ряд Тейлора представляет данную функцию 
только тогда, когда 
. Если 
, то ряд не представляет данной функции, хотя может сходиться (к другой функции).
На практике чаще всего приходится иметь дело со случаем, когда 
и функция 
разлагается в ряд непосредственно по степеням 
. При 
получается ряд, который называется рядом Маклорена; он имеет вид
(12.1.51)
Укажем теперь одно достаточное условие разложимости в степенной ряд.
ТЕОРЕМА 12.1.17 Пусть функция и все ее производные ограничены в совокупности на интервале 
, то есть существует такая постоянная 
, что для всех 
и всех 
выполняется неравенство
. (12.1.52)
Тогда на интервале 
функция 
раскладывается а ряд Тейлора
.
Доказательство. Для того, чтобы доказать, что функция 
раскладывается в ряд Тейлора, достаточно убедиться, что предел остаточного члена в формуле Тейлора стремится к нулю при 
. Возьмем 
в форме Лагранжа, то есть
или
,(12.1.53)
где 
.
Следовательно, что
, (12.1.54)
где 
.
Переходя в неравенстве к пределу при 
, получим
. (12.1.55)
Равенство нулю предела, стоящего в правой части, следует из того, что выражение 
является общим членом сходящегося ряда 
. Но в таком случае и 
имеет пределом 
, что и доказывает наше утверждение.
Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >
