График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса). Исследуем функцию

.

методами дифференциального исчисления:

1. Очевидно, функция определена на всей оси x.;
2. При всех значениях х функция принимает положительные значения, т.е. нормальная кривая расположена над осью Ох.;
3. Предел функции при неограниченном возрастании х (по абсолютной величине) равен нулю:



т.е ось Ох служит горизонтальной асимптотой графика.

4. Исследуем функцию на экстремум. Найдем первую производную:



Помощь с решением задач

Легко видеть, что



и





Следовательно, при х=а функция имеет максимум, равный



5. Исследуем функцию на точки перегиба. Найдем вторую производную:



Следовательно,



или







Таким образом, точки графика с абсциссами являются точками перегиба.

6. Разность (х-а) содержится в аналитическом выражении функции в квадрате, т. е. график функции симметричен относительно прямой х=а. На рис.13.1.18 изображена нормальная кривая.

Рис.13.1.18

Выясним, как влияют на форму и расположение нормальной кривой значения параметров а и

Известно, что графики функций f(х) и f(х-а) имеют одинаковую форму; сдвинув график f (х) в положитель¬ном направлении оси х на а единиц масштаба при а>0 или в отрицательном направлении при а<0, получим график f(х-а) (рис.13.1.19).

Отсюда следует, что изменение величины математического ожидания не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси Ох: вправо, если а возрастает, и влево, если а убывает.

По-иному обстоит дело, если изменяется параметр (среднее квадратическое отклонение). Как было показано ранее, максимум дифференциальной функции нормального распределения равен . Отсюда следует, что с возрастанием максимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, т. е. сжимается к оси Ох; при убывании нормальная кривая становится более «островершинной», и растягивается в положительном направлении оси Оу.

На рис.13.1.20 изображены нормальные кривые при различных значениях и а=0. Рисунок наглядно иллюстрирует, как изменение параметра сказывается на форме нормальной кривой.

В случае, когда а=0 и , нормальную кривую называют нормированной. Подчеркнем, что при любых значениях параметров а и площадь, ограниченная нормальной кривой и осью х, остается равной единице.

Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >