Для описания системы двух случайных величин, кроме математических ожиданий и дисперсий составляющих, используют и другие характеристики; к их числу относятся корреляционный момент и коэффициент корреляции.

Корреляционным моментом случайных величин X и Y называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин: .

Для вычисления корреляционного момента дискретных величин используют формулу

,

а для непрерывных величин – формулу .

Корреляционный момент служит для характеристики связи между величинами X и Y . Как будет показано ниже, корреляционный момент равен нулю, если X и Y независимы; следовательно, если корреляционный момент не равен нулю, то X и Y – зависимые случайные величины.

Корреляционный момент можно записать в виде

.

ТЕОРЕМА 13.1.18. Корреляционный момент двух независимых случайных величин X и Y равен нулю.

Доказательство. Так как X и Y – независимые случайные величины, то их отклонения X – M(X) и Y – M(Y) также независимы. Пользуясь свойствами математического ожидания (математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей) и отклонения (математическое ожидание отклонения равно нулю), получим

.

Из определения корреляционного момента следует, что он имеет размерность, равную произведению размерностей величин X и Y. Другими словами, величина корреляционного момента зависит от единиц измерения случайных величин. По этой причине для одних и тех же двух величин величина корреляционного момента имеет различные значения в зависимости от того, в каких единицах были измерены величины.

Пусть, например, X и Y были измерены в сантиметрах и ; если измерить X и Y в миллиметрах, то и . Такая особенность корреляционного момента является недостатком этой числовой характеристики, поскольку сравнение корреляционных моментов различных систем случайных величин становится затруднительным. Для того, чтобы устранить этот недостаток, вводят новую числовую характеристику – коэффициент корреляции.

Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

.

Так как размерность равна произведению размерностей величин X и Y, имеет размерность величины X, имеет размерность величины Y, то — безразмерная величина. Таким образом, величина коэффициента корреляции не зависит от выбора единиц измерения случайных величин. В этом состоит преимущество коэффициента корреляции перед корреляционным моментом.

Очевидно, коэффициент корреляции независимых случайных величин равен нулю, так как .

ТЕОРЕМА 13.1.19. Абсолютная величина корреляционного момента двух случайных величин X и Y не превышает среднего геометрического их дисперсий:

.

Доказательство. Введем в рассмотрение случайную величину
и найдем ее дисперсию . Выполнив выкладки, получим

.

Любая дисперсия неотрицательна, поэтому .

Отсюда (13.1.51)

Введя случайную величину , аналогично найдем

.(13.1.52)

Объединим (1.51) и (1.52):

, (13.1.53)

или .

Итак,

.

ТЕОРЕМА 13.1.20. Абсолютная величина коэффициента корреляции не превышает единицы:

.

Доказательство. Разделим обе части двойного неравенства (13.1.53) на произведение положительных чисел :

.

Итак, .

Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >