Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий 
, образующих полную группу. События 
назовем гипотезами. Пусть известны вероятности гипотез 
и условные вероятности 
. Чему равна вероятность 
ТЕОРЕМА 13.1.6. Вероятность события А, которое может наступить вместе с одной из гипотез 
, равна сумме произведений вероятности каждой из гипотез на соответствующую ей условную вероятность события А:
. (13.1.23)
Формулу (13.1.23) называют формулой полной вероятности.
Доказательство: Так как 
, 
при 
, то событие А можно представить в виде следующей суммы попарно несовместных событий: 
.
Используя аксиому A3 и формулу (13.1.2), получим 
Пусть в результате испытания событие А наступило. Поставим задачу: определить, как изменились ( в связи с тем, что событие А уже наступило) вероятности гипотез, то есть будем искать условные вероятности 
.
По теореме умножения имеем
Заменив 
по формуле (13.1.23), окончательно получим
, 
. (13.1.24)
Формула Байеса
Формулу (13.1.24) называют формулой Байеса.
Формулы Байеса позволяют по априорным (известным до испытания) вероятностям найти апостериорные (вычисленные после испытания) вероятности , если известен результат испытания (событие А наступило).
ПРИМЕР 13.1.17 В пирамиде 5 винтовок, две из них снабжены оптическим прицелом. Вероятность поразить мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом равна 0,9, а для винтовки без оптического прицела – 0,7.
Требуется:
- Найти вероятность поражения мишени, если стрелок произвел один выстрел из наудачу взятой винтовки.;
- Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: мишень поражена из винтовки с оптическим прицелом или без него?
Решение . Введем гипотезы:
— винтовка с оптическим прицелом;;
— винтовка без оптического прицела;
А – цель поражена при одном выстреле.
;
;
;
.
1) По формуле полной вероятности найдем: 
.
2) По формуле Байеса найдем вероятности гипотез после испытания:
; 
.
Так как 
, то более вероятно, что цель поражена из винтовки без оптического прицела.
Знание основных теорем и формул теории вероятностей позволяет по известным вероятностям элементарных событий находить вероятности сложных событий, что имеет важное практическое значение.
Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >