На практике часто встречаются двумерные случайные величины, распределение которых нормально.

Нормальным законом распределения на плоскости называют распределение вероятностей двумерной случайной величины, если

Мы видим, что нормальный закон на плоскости определяется пятью параметрами: . Можно доказать, что эти параметры имеют следующий вероятностный смысл: — математические ожидания, — средние квадратические отклонения, — коэффициент корреляции величин X и Y.

На рисунке представлено графическое изображение двумерной нормально распределенной случайной величины.

Убедимся в том, что если составляющие двумерной нормально распределенной случайной величины некоррелированны, то они и независимы. Действительно, пусть X и Y некоррелированны. Тогда, полагая в предыдущей формуле , получим

Таким образом, если составляющие нормально распределенной случайной величины некоррелированны, то плотность совместного распределения системы равна произведению плотностей распределения составляющих, а отсюда и следует независимость составляющих. Справедливо и обратное утверждение.

Итак, для нормально распределенных составляющих двумерной случайной величины понятия независимости и некоррелированности равносильны.

Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >