Распределения непрерывных случайных величин

Говорят, что СВ X имеет равномерное распределение на участке от a до b, если ее плотность f(x) на этом участке постоянна, то есть

Например, производится измерение какой-то величины с помощью прибора с грубыми делениями; в качестве приближенного значения измеряемой величины берется ближайшее целое. СВ X — ошибка измерения распределена равномерно на участке , так как ни одно из значений случайной величины ничем не предпочтительнее других.

Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью

где — постоянная положительная величина.

Помощь с решением задач

Примером непрерывной случайной величины, распределенной по показательному закону, может служить время между появлениями двух последовательных событий простейшего потока.

Часто длительность времени безотказной работы элементы имеет показательное распределение, функция распределения которого
определяет вероятность отказа элемента за время длительностью t.

— интенсивность отказов (среднее число отказов в единицу времени).

Нормальный закон распределения (иногда называемый законом Гаусса) играет исключительно важную роль в теории вероятностей и занимает среди других законов распределения особое положение. Плотность распределения нормального закона имеет вид

где m — математическое ожидание,

— среднее квадратическое отклонение X.

Вероятность того, что нормально распределенная СВ X примет значение, принадлежащее интервалу , вычисляется по формуле: ,

где Ф(X) — функция Лапласа. Ее значения определяются из таблицы приложения учебника по теории вероятностей.

Вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины X от математического ожидания по абсолютной величине меньше заданного положительного числа , вычисляется по формуле

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ПРИМЕР 13.2.41. Цена одного деления шкалы амперметра равна 0,1 А. Показания округляются до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02 А.

Решение. Ошибку округления можно рассматривать как СВ X, которая распределена равномерно в интервале между двумя соседними делениями. Плотность равномерного распределения , где (b-a) — длина интервала, в котором заключены возможные значения X. В рассматриваемой задаче эта длина равна 0,1. Поэтому . Итак, .

Ошибка отсчета превысит 0,02, если она будет заключена в интервале (0,02; 0,08). По формуле имеем

ПРИМЕР 13.2.42. Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение . Найти вероятность того, что за время длительностью часов:

а) элемент откажет;

б) элемент не откажет.

Решение. а) Функция определяет вероятность отказа элемента за время длительностью t, поэтому, подставив , получим вероятность отказа: .

б) События «элемент откажет» и «элемент не откажет» — противоположные, поэтому вероятность того, что элемент не откажет .

ПРИМЕР 13.2.43. Случайная величина X распределена нормально с параметрами . Найти вероятность того, что СВ X отклонится от своего математического ожидания m больше, чем на .

Решение.

Эта вероятность очень мала, то есть такое событие можно считать практически невозможным (можно ошибиться примерно в трех случаях из 1000). Это и есть “правило трех сигм”: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

ПРИМЕР 13.2.44. Математическое ожидание и среднее квадратического отклонение нормально распределенной случайной величины соответственно равны 10 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (12, 14).

Решение.Для нормально распределенной величины

Подставив , получим

По таблице находим .

Искомая вероятность .

Примеры и задачи для самостоятельного решения

Решить задачи, используя формулы расчета вероятности для непрерывных случайных величин и их характеристик

3.2.9.1. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (a,b).

Отв.:

3.2.9.2. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 мин. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Найти плотность распределения СВ T — времени, в течение которого ему придется ждать поезда; . Найти вероятность того, что ждать придется не больше полминуты.

Отв.:

3.2.9.3. Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более чем на 20 с.

Отв.:2/3

3.2.9.4. Случайная величина X распределена равномерно на участке (a,b). Найти вероятность того, что в результате опыта она отклонится от своего математического ожидания больше, чем на .

Отв.:0

3.2.9.5. Случайные величины X и Y независимы и распределены равномерно: X — в интервале (a,b), Y — в интервале (c,d). Найти математическое ожидание произведения XY.

Отв.:

3.2.9.6. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение показательно распределенной случайной величины.

Отв.:

3.2.9.7. Написать плотность и функцию распределения показательного закона, если параметр .

Отв.:,

3.2.9.8. Случайная величина имеет показательное распределение с параметром . Найти .

Отв.:0,233

3.2.9.9. Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону , где t — время, ч. Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 ч.

Отв.:0,37

3.2.9.10. Испытывают три элемента, которые работают независимо один от другого. Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону: для первого элемента ; для второго ; для третьего элемента . Найти вероятность того, что в интервале времени (0; 5) ч. откажут: а) только один элемент; б) только два элемента; в) все три элемента.

Отв.: а)0,292; б)0,466; в)0,19

3.2.9.11. Доказать, что если непрерывная случайная величина распределена по показательному закону, то вероятность того, что X примет значение меньшее математического ожидания M(X), не зависит от величины параметра ; б) найти вероятность того, что X > M(X).

Отв.:

3.2.9.12. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (15; 25).

Отв.: 0,6826

3.2.9.13. Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением г. Найти вероятность того, что а) взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 10г; б) из трех независимых взвешиваний ошибка хотя бы одного не превзойдет по абсолютной величине 4г.

Отв.:

3.2.9.14. Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением . Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0,9973 попадет величина X в результате испытания.

Отв.:(-5,25)

3.2.9.15. Завод изготовляет шарики для подшипников, номинальный диаметр которых равен 10 мм, а фактический диаметр случаен и распределен по нормальному закону с мм и мм. При контроле бракуются все шарики, не проходящие через круглое отверстие с диаметром 10,7 мм и все, проходящие через круглое отверстие с диаметром 9,3 мм. Найти процент шариков, которые будут браковаться.

Отв.:8,02%

3.2.9.16. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая распределена нормально с проектной длиной (математическим ожиданием), равным 50 мм. Фактически длина изготовленных деталей не менее 32 и не более 68 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали: а) больше 55 мм; б) меньше 40 мм.

Указание: Из равенства предварительно найти .

Отв.:а)0,0823; б)0,0027

3.2.9.17. Коробки с шоколадом упаковываются автоматически; их средняя масса равна 1,06 кг. Найти дисперсию, если 5% коробок имеют массу меньше 1 кг. Предполагается, что масса коробок распределена по нормальному закону.

Отв.:0,00133

3.2.9.18. Бомбардировщик, пролетевший вдоль моста, длина которого 30 м и ширина 8 м, сбросил бомбы. Случайные величины X и Y (расстояние от вертикальной и горизонтальной осей симметрии моста до места падения бомбы) независимы и распределены нормально со средними квадратическими отклонениями, соответственно равными 6 и 4 м, и математическими ожиданиями, равными нулю. Найти: а) вероятность попадания в мост одной брошенной бомбы; б) вероятность разрушения моста, если сброшены две бомбы, причем известно, что для разрушения моста достаточно одного попадания.

Отв.:

3.2.9.19. В нормально распределенной совокупности 11% значений X меньше 0,5 и 8% значений X больше 5,8. Найти параметры m и данного распределения.

Отв.:3; 2

3.2.9.20. В нормально распределенной совокупности 25% значений X меньше -5,38 и 10% значений X больше 4,44. Найти параметры m и данного распределения.

Отв.: -2; 5

3.2.9.21. Масса арбуза некоторого сорта – нормально распределенная случайная величина с m=5 кг и =0,5 кг. Какова вероятность того, что в партии весом в 10 т находится не менее 1900 и не более 2100 арбузов?

Отв.: 0,3863

3.2.9.22. Найти математическое ожидание случайной величины Х, которая подчиняется закону распределения Рэлея:
,
где > 0 – параметр.

Отв.:

3.2.9.23. В некоторых странах действует закон о налогообложении, который распространяется на тех частных предпринимателей, годовой доход которых превосходит некоторый установленный законом уровень x0. Считая, что годовой доход наудачу выбранного лица, облагаемого налогом, является случайной величиной Х, распределенной по закону Парето
,
с параметрами a=4, x0=1000, найти D(X) и сравнить вероятности и .