Функция одного случайного аргумента

Если каждому возможному значению случайной величины X соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то Y называют функцией случайного аргумента X и записывают .

Рассмотрим правила для нахождения закона распределения СВ Y по известному закону распределения СВ X.

Пусть аргумент X — дискретная случайная величина, с законом распределения:

X			…
			…

Если различным значениям СВ X соответствуют различные значения СВ Y, то вероятности соответствующих значений равны; если же различным значениям СВ X соответствуют значения СВ Y, среди которых есть равные между собой, то следует складывать вероятности повторяющихся значений Y.

Помощь с решением задач

Математическое ожидание функции

Пусть аргумент X — непрерывная случайная величина, заданная плотностью распределения .

Если функция дифференцируемая строго монотонная, обратная функция которой , то плотность распределения случайной величины Y находится по формуле

Если функция в интервале возможных значений X не монотонна, то следует разбить этот интервал на такие интервалы, в которых функция монотонна, и найти плотности распределений для каждого из интервалов монотонности, а затем представить в виде суммы .

Например, если функция монотонна в двух интервалах, в которых соответствующие обратные функции равны и , то

Математическое ожидание и дисперсия функции непрерывного случайного аргумента

или

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ПРИМЕР 13.2.45. Дискретная случайная величина задана законом распределения

X	-1	0	1	2
P	0,1	0,2	0,4	0,3

Найти закон распределения случайной величины и ее математическое ожидание.

Решение. Найдем возможные значения Y:

Возможному значению Y=4, соответствуют возможные значения X=-1 и X=1, поэтому . Вероятности возможных значений

Итак, искомый закон распределения функции

Y	3	4	7
P	0,2	0,5	0,3

ПРИМЕР 13.2.46. Дана нормально распределенная случайная величина X с и . Найти закон распределения СВ .

Решение. По условию задачи .

Так как , то . Найдем для обратную функцию . Тогда плотность распределения случайной величины Y будет иметь вид .

ПРИМЕР 13.2.47. Нормально распределенная случайная величина X имеет плотность .

Найти плотность распределения случайной величины .

Решение. Функция на не монотонна. Интервалы монотонности и . На интервале обратная функция ; на ;
.

Тогда

или .

Так как , причем , то .

Таким образом

ПРИМЕР 13.2.48. Случайная величина задана плотностью

Найти математическое ожидание случайной величины .

Решение. I способ: Найдем .

По свойствам математического ожидания

II способ: Воспользуемся формулой . Тогда, .

Примеры и задачи для самостоятельного решения

Решить задачи, используя формулы расчета вероятности для функции одного случайного аргумента

3.2.10.1. Дискретная случайная величина X задана законом распределения

X
P	0,2	0,7	0,1

Найти закон распределения случайной величины и ее математическое ожидание.

Отв.:

Y		1
P	0,3	0,7

3.2.10.2. Случайная величина X равномерно распределена в интервале . Найти плотность распределения g(y) случайной величины .

Отв.:

3.2.10.3. Задана плотность распределения f(x) случайной величины X: . Найти плотность распределения случайной величины .

Отв.:

3.2.10.4. Ребро куба x измерено приближенно, причем . Рассматривая ребро куба как случайную величину X, распределенную равномерно в интервале (a,b), найти математическое ожидание и дисперсию объема куба .

Отв.:

5. Диаметр круга x измерен приближенно, причем . Рассматривая диаметр как случайную величину X, распределенную равномерно в интервале (a,b), найти математическое ожидание и дисперсию площади круга.

Отв.:

3.2.10.6. Случайная величина X распределена равномерно в интервале . Найти плотность распределения g(y) случайной величины .

Отв.:

3.2.10.7. Задана плотность распределения f(x) случайной величины X, возможные значения которой заключены в интервале . Найти плотность распределения g(y) случайной величины Y, если: а) ; б) в) г) .