Дано дифференциальное уравнение
,(11.1.41)
где 
действительные числа.
В предыдущих параграфах был дан общий метод нахождения общего решения неоднородного дифференциального уравнения. В этом параграфе покажем нахождение частных решений линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
1.
,(11.1.42)
где 
многочлен 
ой степени, 
постоянная.
Тогда возможны следующие случаи:
а) Число 
не является корнем характеристического уравнения
.
В этом случае частное решение нужно искать в виде
, (11.1.43)
где 
коэффициенты, подлежащие определению.
Подставляя 
в уравнение (11.1.41) и сокращая все члены на множитель 
, имеем
.(11.1.44)
Слева и справа от знака равенства стоит многочлен 
й степени, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 
, получим систему 
уравнений для определения неизвестных коэффициентов 
.
б) Число 
есть простой корень характеристического уравнения. В этом случае частное решение нужно искать в виде
.
Неизвестные коэффициенты 
определяем так же как в пункте а.
в) Число 
двукратный корень характеристического уравнения. Тогда частное решение 
следует искать в виде
.
Неизвестные коэффициенты 
определяем так же как в пункте а.
2. Правая часть уравнения (11.1.41) имеет вид
, где 
постоянные.
а) Если число 
не является корнем характеристического уравнения, то частное 
следует искать в виде
, где 
числа, подлежащие определению.
б) Если число 
является корнем характеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде
.
ПРИМЕР 11.1.28 Найти общее решение дифференциального уравнения 
.
Решение.
Составляем характеристическое уравнение 
, которое имеет корни 
, поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид 
.
Для этого случая 
, 
. Это число является корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение 
неоднородного находим в виде
. Подставляя 
в дифференциальное уравнение и приравнивая коэффициенты при 
и 
, получаем систему уравнений для определения 
и 
: 
, откуда 
.
Тогда общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид 
.
Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >
