Прежде чем давать определение однородного дифференциального уравнения, введем понятие об однородных функциях.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1.8 Функция двух переменных 
называется однородной функцией порядка 
в области 
, если при любом 
выполняется следующее равенство
.
ПРИМЕР 11.1.12 Функция 
однородная функция третьего порядка, так как
.
ПРИМЕР 11.1.13 Функция 
однородная функция нулевого порядка 
.
Таким образом, для функции выполняется равенство 
. Отсюда следует, что функция 
называется однородной функцией нулевого порядка, если при умножении аргументов 
и 
на произвольный параметр 
значения функции не изменяются.
Отношение двух однородных функций одной переменной и того же порядка однородности является однородной функцией нулевой степени.
Однородная функция нулевого порядка может быть записана в виде
. Действительно, пусть 
однородная функция нулевого порядка. Так как параметр 
произвольный, то положим 
; тогда 
. Теперь можно дать определение однородного дифференциального уравнения относительно 
и 
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1.9 Дифференциальное уравнение
(11.1.8)
называется однородным, если 
является однородной функцией нулевого порядка.
Однородное уравнение можно привести к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой
(11.1.9)
где 
новая дифференцируемая искомая функция. Дифференцируя (11.1.9), получим 
. Подставим выражения 
и 
в уравнение (11.1.8), тогда 
откуда 
или 
, 
, если 
, то 
или 
общий интеграл однородного уравнения.
ПРИМЕР 11.1.13 
Решение.
Сделаем подстановку: 
; подставляя в уравнение, получим
, разделив переменные, имеем 
общий интеграл.
Уравнение вида
(11.1.10)
приводится к однородному, если 
приводится к уравнению с разделяющимися переменными, если 
Рассмотрим каждый случай отдельно.
1. Пусть 
введем новые переменные
(11.1.11)
где 
и 
пока не известные постоянные. Найдем 
из (11.1.11). Подставляя выражения 
в данное уравнение, получим
; выберем теперь 
и 
таким образом, чтобы
(11.1.12)
Тогда 
. Это однородное уравнение относительно переменных 
. Решая это уравнение, получим 
, но 
, 
. Значения 
и 
находим из системы (11.1.10);
она совместна, так как определитель этой системы 
.
2. Пусть теперь 
. Отсюда 
Подставляя значения 
и 
в уравнение (11.1.10), получим
.
Для разделения переменных введем новую функцию 
отсюда 
; 
. Это уравнение есть уравнение с разделяющимися переменными.
ПРИМЕР 11.1.14 
;
Решение.
Проверим 
.
Введем новые переменные 
; уравнение примет вид
.
отсюда 
это однородное уравнение.
Сделаем подстановку 
Разделим переменные и проинтегрируем полученное уравнение:
;
.
Или возвращаясь к прежним переменны x и y, получим
.
Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >
