Уравнение вида
,
где
любое число, отличное от нуля и единицы, называется уравнением Бернулли (при
или при
уравнение Бернулли обращается в линейное уравнение). Будем предполагать, что функции
и
определены и непрерывны в некотором интервале
.
Уравнение Бернулли всегда интегрируется в квадратурах, ибо оно делением обеих частей на
и подстановкой
, где
новая искомая функция, приводится к линейному уравнению. В самом деле, разделив обе части на
, получим
.
Сделаем подстановку
;
;
если обозначим
и
, то получим
. Интегрируя это уравнение, находим
. Возвращаясь к нашей подстановке, находим
.
Вышесказанное продемонстрируем на примере
. Разделив обе части на
, получим
.
Сделаем подстановку
. Подставляя в уравнение, получим
. Это линейное неоднородное уравнение относительно искомой функции
. Решим это уравнение, применяя готовую формулу
.
Итак,
но
то
общее решение уравнения Бернулли.
Замечание. Уравнение Бернулли можно проинтегрировать методом подстановки
.
Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >
