Знакочередующиеся ряды

Рассмотрим ряд, члены которого имеют чередующиеся знаки, то есть ряд вида

, где

или . (12.1.23)

ТЕОРЕМА Лейбница. Если у знакочередующегося ряда ,

, абсолютные величины членов ряда убывают и , то ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена.

Помощь с решением задач

Доказательство. 1. Рассмотрим сумму первых членов ряда , то есть

.(12.1.24)

Правую часть (12.1.24) запишем в виде

.(12.1.25)

Из условия теоремы следует, что разность в скобках (12.1.25) положительна. Следовательно, сумма положительна и возрастает с возрастанием .

Докажем, что она ограничена. Для этого представим следующим образом:

.(12.1.26)

В силу условия каждая разность в скобках (12.1.26) положительна. Поэтому в результате вычитания выражения в скобках из получим число, меньшее, чем , то есть .

Таким образом, при возрастании m возрастает и ограничена сверху. Следовательно, по теореме о пределе монотонной переменной она имеет предел , причем .

2. Чтобы доказать сходимость ряда , нужно доказать еще, что «нечетные» частичные суммы также стремятся к . Рассмотрим сумму первых членов ряда

. (12.1.27)

По условию теоремы , следовательно, ,

тогда

Тем самым доказали, что (как при четном, так и при нечетном). Следовательно, ряд сходится.

Замечание 1. На рис. 12.2 наглядно показано, что по мере возрастания числа членов частичные суммы возрастают, а частичные суммы убывают, приближаясь к сумме ряда .

ПРИМЕР 12.1.8 Исследовать сходимость ряда

Решение. Данный ряд знакопеременный. Для исследования его сходимости составляем ряд из абсолютных величин его членов, то есть ряд вида

Полученный ряд гармонический, который расходится. Применим теорему Лейбница, так как ряд знакочередующийся. Проверим выполнение условий этой теоремы: , то есть первое условие выполняется. второе условие также выполнено. Следовательно, ряд сходится, но ряд, составленный из абсолютных величин его членов расходится, то согласно определению 8 этот ряд сходится условно.

Замечание 2. Теорема Лейбница позволяет оценить ошибку, которая получается, если заменить его сумму частичной суммой . При такой замене мы отбрасываем все члены ряда, начиная с , то есть получаем ряд вида

.(12.1.28)

Здесь остаток ряда, представляет собой знакочередующийся ряд, удовлетворяющий теореме Лейбница. По теореме Лейбница сумма ряда (12.1.28) не превосходит по абсолютной величине члены , то есть . Таким образом, пользуясь приближенным равенством , допускают ошибку, которая меньше абсолютной величины первого из отбрасываемых членов.

ПРИМЕР 12.1.9 Вычислить сумму ряда

с точностью .

Решение. Исследуем на сходимость данный ряд. Для этого составим ряд из абсолютных величин его членов, то есть ряд вида

. Полученный ряд гармонический с . Поэтому он сходится. Тогда по признаку сравнения сходится и ряд

. Но этот ряд знакочередующийся. Согласно замечанию 2 ошибка, которая получается при замене данного ряда его частичной суммой, не превосходит по абсолютной величине члена . Чтобы достичь заданной точности, достаточно положить , откуда находим наименьшее , удовлетворяющее этому неравенству, то есть . Для вычисления суммы ряда с точностью достаточно взять сумму первых пяти слагаемых, то есть