При применении локальной теоремы Муавра – Лапласа можно заметить, что асимптотическое представление вероятности посредством функции действует тем хуже, чем больше вероятность p отличается от половины, то есть чем меньше значения p или q приходится рассматривать, и это представление отказывается служить при , и при , .

Однако значительный круг задач связан с необходимостью вычисления вероятностей именно при малых значениях p.

Для того, чтобы в этом случае теорема Муавра – Лапласа дала результаты с незначительной ошибкой, необходимо, чтобы число испытаний было очень велико. Возникает, таким образом, задача разыскания асимптотической формулы, специально приспособленной для случая малых p. Такая формула была найдена Пуассоном.

Помощь с решением

ТЕОРЕМА 13.1.9. (Пуассона). Если и так, что (), то

(13.1.33)

(для функции имеется таблица).

Доказательство:

Таким образом, при больших n и малых p справедлива формула (обычно p<0.1; )

, где . (13.1.34)

ПРИМЕР 13.1.22 Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0.001. Найти вероятность того, что на базу прибудут не более 2 негодных изделий.

Решение. ,

Значит, можно использовать формулу Пуассона ;

; ; ;

.

Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >