Равенство матриц
Две матрицы А и В называются равными (A=B), если они имеют одинаковые размеры и равные соответствующие элементы.
Например, если
и 
, то 
Сложение матриц
Пусть даны матрицы 
и 
, имеющие одинаковые размеры 
.
Суммой матриц А и В называется матрица С = A+B тех же размеров , что и заданные матрицы, элементы которой 
определяются правилом 
для всех 
.
Например, если 
то 
Нетрудно проверить, что сумма матриц подчиняется переместительному и сочетательному законам, т.е. 
и 
Умножение матриц на число
Произведением матрицы размеров 
на число 
называется матрица тех же размеров, что и матрица А, элементы, которой определяются правилом 
для всех 
Например, если 
и 
, то 
Умножение матрицы на число подчиняется закону 
, где и 
числа.
Умножение матриц
Пусть заданы матрица А размеров и матрица В размеров 
, т.е. такие, что число столбцов первой равно числу строк второй матрицы. Выберем строку с номером i из матрицы А и столбец с номером j из матрицы В. Умножим каждый элемент 
выбранной строки на соответствующий элемент 
выбранного столбца и сложим полученные произведения, т.е. составим сумму
 |
(1.4) |
Вычислим такие суммы для всех 
и всех 
и из полученных 
чисел составим матрицу 
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Произведением матрицы А размеров на матрицу В размеров называется матрица 
размеров , элементы 
которой определяются по формуле (1.4) для всех 
и всех .
Примеры умножения матриц
ПРИМЕР 1.1.1
Даны 
и 
Так как число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, то произведение 
определено и
.
ПРИМЕР 1.1.2
Даны 
.
Матрица А имеет два столбца, В — две строки; следовательно, определено.
ПРИМЕР 1.1.3
Даны квадратная матрица А порядка n и столбцовая матрица В размеров 
.
Из примера следует, что произведение квадратной матрицы на матрицу-столбец есть матрица-столбец. Аналогично проверяется, что произведение матрицы-строки размеров 
на квадратную матрицу порядка n есть строчная матрица размеров .
ПРИМЕР 1.1.4
Даны 
и
Итак, если Е единичная матрица и А — квадратная, то 
, т.е. единичная матрица играет роль единицы в действиях над матрицами.
ПРИМЕР 1.1.5
Даны 
Очевидно, что определены произведения 
Этот пример показывает, что произведение двух матриц не подчиняется переместительному закону, т.е. 
. Однако можно проверить, что умножение матриц подчиняется сочетательному и распределительному законам, т.е. 
.