Действия над матрицами

Помощь по математике

Равенство матриц

Две матрицы А и В называются равными (A=B), если они имеют одинаковые размеры и равные соответствующие элементы.

Например, если



Сложение матриц-image002.gif и Сложение матриц-image004.gif, то Сложение матриц-image006.gif

Сложение матриц-image008.gif

Сложение матриц

Пусть даны матрицы Сложение матриц-image010.gif и Сложение матриц-image012.gif, имеющие одинаковые размеры Сложение матриц-image014.gif.

Суммой матриц А и В называется матрица С = A+B тех же размеров Сложение матриц-image014.gif, что и заданные матрицы, элементы которой Сложение матриц-image017.gif определяются правилом Сложение матриц-image019.gif для всех Сложение матриц-image021.gif.

Например, если Сложение матриц-image023.gif то Сложение матриц-image025.gif

Нетрудно проверить, что сумма матриц подчиняется переместительному и сочетательному законам, т.е. Сложение матриц-image027.gif и Сложение матриц-image029.gif

Умножение матриц на число

Произведением матрицы Сложение матриц-image010.gif размеров Сложение матриц-image032.gif на число Сложение матриц-image034.gif называется матрица Сложение матриц-image012.gif тех же размеров, что и матрица А, элементы, которой определяются правилом Сложение матриц-image037.gif для всех Сложение матриц-image039.gif

Например, если Сложение матриц-image041.gif и Сложение матриц-image043.gif, то Сложение матриц-image045.gif

Умножение матрицы на число подчиняется закону Сложение матриц-image047.gif, где Сложение матриц-image034.gif и Сложение матриц-image049.gif числа.

Умножение матриц

Пусть заданы матрица А размеров Сложение матриц-image032.gif и матрица В размеров Сложение матриц-image052.gif, т.е. такие, что число столбцов первой равно числу строк второй матрицы. Выберем строку с номером i из матрицы А и столбец с номером j из матрицы В. Умножим каждый элемент Сложение матриц-image054.gif выбранной строки на соответствующий элемент Сложение матриц-image056.gifвыбранного столбца и сложим полученные произведения, т.е. составим сумму

Сложение матриц-image058.gif (1.4)

Вычислим такие суммы для всех Сложение матриц-image060.gif и всех Сложение матриц-image062.gif и из полученных Сложение матриц-image064.gif чисел составим матрицу Сложение матриц-image066.gif.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Произведением матрицы А размеров Сложение матриц-image032.gif на матрицу В размеров Сложение матриц-image052.gif называется матрица Сложение матриц-image070.gif размеров Сложение матриц-image064.gif, элементы Сложение матриц-image073.gif которой определяются по формуле (1.4) для всех Сложение матриц-image075.gif и всех Сложение матриц-image062.gif.

Примеры умножения матриц

ПРИМЕР 1.1.1

Даны Сложение матриц-image078.gif и Сложение матриц-image080.gif

Так как число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, то произведение Сложение матриц-image082.gif определено и

Сложение матриц-image084.gif.

ПРИМЕР 1.1.2

Даны Сложение матриц-image086.gif.

Матрица А имеет два столбца, В — две строки; следовательно, Сложение матриц-image082.gif определено.

Сложение матриц-image089.gif

ПРИМЕР 1.1.3

Даны квадратная матрица А порядка n и столбцовая матрица В размеров Сложение матриц-image091.gif.

Сложение матриц-image093.gif

Из примера следует, что произведение квадратной матрицы на матрицу-столбец есть матрица-столбец. Аналогично проверяется, что произведение матрицы-строки размеров Сложение матриц-image095.gif на квадратную матрицу порядка n есть строчная матрица размеров Сложение матриц-image095.gif.

ПРИМЕР 1.1.4

Даны Сложение матриц-image098.gif

Сложение матриц-image100.gif и

Сложение матриц-image102.gif

Итак, если Е единичная матрица и А — квадратная, то Сложение матриц-image104.gif, т.е. единичная матрица играет роль единицы в действиях над матрицами.

ПРИМЕР 1.1.5

Даны Сложение матриц-image106.gif

Очевидно, что определены произведения Сложение матриц-image108.gif

Сложение матриц-image110.gif

Сложение матриц-image112.gif

Этот пример показывает, что произведение двух матриц не подчиняется переместительному закону, т.е. Сложение матриц-image114.gif. Однако можно проверить, что умножение матриц подчиняется сочетательному и распределительному законам, т.е. Сложение матриц-image116.gif.

Поделиться с друзьями