Пусть дана квадратная матрица второго порядка:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.7 Определителем второго порядка, соответствующим заданной матрице А, называется число равное 
Для обозначения определителя используются вертикальные черточки и прописная буква 
. Например,
 |
(1.5) |
есть общий вид определителя второго порядка.
Числа 
называются элементами определителя. Как и у матрицы второго порядка, элементы 
образуют первую строку определителя; 
вторую строку; 
— первый столбец; 
второй столбец; 
образуют главную диагональ определителя; 
побочную диагональ. Используя данную терминологию, можно сказать, что определитель второго порядка есть число, равное разности произведений элементов, расположенных на главной и побочной его диагоналях.
ПРИМЕР 1.1.6
Рассмотрим простейшие свойства определителя второго порядка.
Свойство 1.2.1 Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами, т.е.
 |
(1.6) |
Действительно, согласно (1.5) получим
и 
Из свойства 1.2.1 следует, что свойства, установленные для строк определителя, справедливы и для его столбцов.
Свойство 1.2.2 При перестановке местами двух строк (столбцов) определитель меняет свой знак на противоположный.
Действительно, если 
то
Свойство 1.2.3 Определитель, имеющий две одинаковые строки (столбца), равен нулю.
Например, 
Свойство 1.2.4 Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя умножить на одно и то же число, то определитель умножится на это число.
Пусть 
где 
число.
Тогда 
Свойство 1.2.4 означает, что общий множитель всех элементов строки (столбца) можно вынести за знак определителя.
Свойство 1.2.5 Определитель, у которого элементы двух его строк (столбцов) пропорциональны, равен нулю.
Действительно, 
при любом k.
Свойство 1.2.6 Если каждый элемент какой-либо строки (столбца) определителя есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у одного из них элементами соответствующей строки являются первые слагаемые, у другого — вторые. Оставшиеся элементы этих определителей те же, что и у данного.
Пусть 
.
Тогда 
Свойство 1.2.7 Определитель не изменится, если к элементам какой-либо его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.
Действительно, пусть 
Тогда, согласно свойствам 1.2.5 и 1.2.6, получим
