Определители второго порядка и их свойства

Помощь по математике

Пусть дана квадратная матрица второго порядка:

Определитель 2  порядка image002.gif

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.7 Определителем второго порядка, соответствующим заданной матрице А, называется число равное Определитель 2  порядка image004.gif



Для обозначения определителя используются вертикальные черточки и прописная буква Определитель 2  порядка image006.gif. Например,

Определитель 2  порядка image008.gif (1.5)

есть общий вид определителя второго порядка.

Числа Определитель 2  порядка image012.gif называются элементами определителя. Как и у матрицы второго порядка, элементы Определитель 2  порядка image014.gif образуют первую строку определителя; Определитель 2  порядка image016.gif вторую строку; Определитель 2  порядка image018.gif — первый столбец; Определитель 2  порядка image020.gif второй столбец; Определитель 2  порядка image022.gif образуют главную диагональ определителя; Определитель 2  порядка image024.gif побочную диагональ. Используя данную терминологию, можно сказать, что определитель второго порядка есть число, равное разности произведений элементов, расположенных на главной и побочной его диагоналях.

ПРИМЕР 1.1.6

Определитель 2  порядка image026.gif

Рассмотрим простейшие свойства определителя второго порядка.

Свойство 1.2.1 Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами, т.е.

Определитель 2  порядка image028.gif (1.6)

Действительно, согласно (1.5) получим

Определитель 2  порядка image030.gif и Определитель 2  порядка image032.gif

Из свойства 1.2.1 следует, что свойства, установленные для строк определителя, справедливы и для его столбцов.

Свойство 1.2.2 При перестановке местами двух строк (столбцов) определитель меняет свой знак на противоположный.

Действительно, если Определитель 2  порядка image034.gif то

Определитель 2  порядка image036.gif

Свойство 1.2.3 Определитель, имеющий две одинаковые строки (столбца), равен нулю.

Например, Определитель 2  порядка image038.gif

Свойство 1.2.4 Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя умножить на одно и то же число, то определитель умножится на это число.

Пусть Определитель 2  порядка image040.gif где Определитель 2  порядка image042.gif число.

Тогда Определитель 2  порядка image044.gif

Свойство 1.2.4 означает, что общий множитель всех элементов строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

Свойство 1.2.5 Определитель, у которого элементы двух его строк (столбцов) пропорциональны, равен нулю.

Действительно, Определитель 2  порядка image046.gif при любом k.

Свойство 1.2.6 Если каждый элемент какой-либо строки (столбца) определителя есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у одного из них элементами соответствующей строки являются первые слагаемые, у другого — вторые. Оставшиеся элементы этих определителей те же, что и у данного.

Пусть Определитель 2  порядка image048.gif.

Тогда Определитель 2  порядка image050.gif

Определитель 2  порядка image052.gif

Свойство 1.2.7 Определитель не изменится, если к элементам какой-либо его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

Действительно, пусть Определитель 2  порядка image054.gif

Тогда, согласно свойствам 1.2.5 и 1.2.6, получим

Определитель 2  порядка image056.gif

Поделиться с друзьями