Формулы Крамера. Матричный способ решения систем линейных уравнений

Помощь по математике

Пусть задана система линейных уравнений, содержащая одинаковое число уравнений и неизвестных Формула Крамера 002.gif

Формула Крамера 004.gif (1.19)



Введем три матрицы

Формула Крамера 006.gif

Матрица Формула Крамера 008.gif, составленная из коэффициентов системы, является квадратной матрицей порядка Формула Крамера 010.gif. Матрицы Формула Крамера 012.gif и Формула Крамера 014.gif являются столбцовыми и составлены соответственно из неизвестных и свободных членов системы.

Так как число столбцов матрицы Формула Крамера 008.gif равно числу строк матрицы Формула Крамера 012.gif, то существует произведение Формула Крамера 018.gif, являющееся столбцовой матрицей тех же размеров, что и матрица Формула Крамера 020.gif. Тогда систему уравнений (1.19) можно записать в форме одного матричного уравнения.

Формула Крамера 022.gif (1.20)

Для определения матрицы Формула Крамера 012.gif из (1.20) допустим, что матрица Формула Крамера 008.gif имеет обратную матрицу Формула Крамера 026.gif определяемую формулой (17). Тогда, умножая обе части (1.20) слева на Формула Крамера 026.gif, получим

Формула Крамера 029.gif (1.21)

По определению обратной матрицы Формула Крамера 031.gif,где Формула Крамера 033.gif единичная матрица порядка Формула Крамера 010.gif. Отсюда Формула Крамера 036.gif

Следовательно, уравнение (1.21) запишется в виде

Формула Крамера 038.gif (1.22)

Матричное равенство (1.22) определяет решение заданной системы уравнений в матричной форме. Для определения конкретных значений неизвестных Формула Крамера 040.gifперепишем (1.22) в виде

Формула Крамера 042.gif, (1.23)

где Формула Крамера 044.gif определитель, соответствующий матрице Формула Крамера 008.gif;

Формула Крамера 047.gif алгебраические дополнения элементов Формула Крамера 049.gif этой матрицы.

Перемножив матрицы в правой части (23), найдем

Формула Крамера 051.gif

Отсюда, согласно условию равенства двух матриц, получим

Формула Крамера 053.gif

Формула Крамера 055.gif

(1.24)

Формулы (1.24) и определяют матричный способ решения системы Формула Крамера 057.gif

Для запоминания этих формул и последующего их применения на практике введем группу определителей:

Формула Крамера 059.gif, Формула Крамера 061.gif

Формула Крамера 063.gif Формула Крамера 065.gif

Заметим, что определитель Формула Крамера 067.gif получен из Формула Крамера 069.gif заменой его первого столбца на столбец свободных членов, определитель Формула Крамера 071.gif получен из Формула Крамера 069.gif заменой его второго столбца на столбец свободных членов и т.д.. Разложим каждый из определителей Формула Крамера 074.gif по столбцу из свободных членов Формула Крамера 076.gif Тогда

Формула Крамера 078.gif

Формула Крамера 080.gif

(1.25)

Из сравнения полученных результатов (1.25) с числителями равенств (1.24) следует, что решение системы (1.19) можно записать в виде

Формула Крамера 082.gif (1.26)

Формулы (1.26) называются формулами Крамера.

Примеры решения по формулам Крамера

ПРИМЕР 1.1.13

Решить по формулам Крамера систему уравнений

Формула Крамера 084.gif

Решение. Система содержит одинаковое число уравнений и неизвестных. Вычислим определитель Формула Крамера 069.gif этой системы.

Формула Крамера 087.gif

Так как Формула Крамера 089.gif,то решение можно найти по формулам Крамера:

Формула Крамера 091.gif Тогда

Формула Крамера 093.gif Ответ: {1;2}.

ПРИМЕР 1.1.14

Решить матричным способом систему уравнений

Формула Крамера 095.gif

Система содержит одинаковое число уравнений и неизвестных. Вычислим определитель Формула Крамера 069.gif этой системы:

Формула Крамера 098.gif

Так как Формула Крамера 089.gif, то система может быть решена матричным способом.

Составим матрицы Формула Крамера 101.gif

Так как определитель системы Формула Крамера 089.gif, то матрица Формула Крамера 104.gif имеет обратную матрицу Формула Крамера 106.gif, где Формула Крамера 108.gif

Вычислим алгебраические дополнения Формула Крамера 110.gif всех элементов

Формула Крамера 112.gif

Тогда Формула Крамера 114.gif

Так как решением является Формула Крамера 038.gif, то

Формула Крамера 117.gif

Или Формула Крамера 119.gif Ответ: {1,1,1}

Поделиться с друзьями