Пусть задана система линейных уравнений, содержащая одинаковое число уравнений и неизвестных
(1.19) |
Введем три матрицы
Матрица , составленная из коэффициентов системы, является квадратной матрицей порядка . Матрицы и являются столбцовыми и составлены соответственно из неизвестных и свободных членов системы.
Так как число столбцов матрицы равно числу строк матрицы , то существует произведение , являющееся столбцовой матрицей тех же размеров, что и матрица . Тогда систему уравнений (1.19) можно записать в форме одного матричного уравнения.
(1.20) |
Для определения матрицы из (1.20) допустим, что матрица имеет обратную матрицу определяемую формулой (17). Тогда, умножая обе части (1.20) слева на , получим
(1.21) |
По определению обратной матрицы ,где единичная матрица порядка . Отсюда
Следовательно, уравнение (1.21) запишется в виде
(1.22) |
Матричное равенство (1.22) определяет решение заданной системы уравнений в матричной форме. Для определения конкретных значений неизвестных перепишем (1.22) в виде
, | (1.23) |
где определитель, соответствующий матрице ;
алгебраические дополнения элементов этой матрицы.
Перемножив матрицы в правой части (23), найдем
Отсюда, согласно условию равенства двух матриц, получим
(1.24) |
Формулы (1.24) и определяют матричный способ решения системы
Для запоминания этих формул и последующего их применения на практике введем группу определителей:
,
Заметим, что определитель получен из заменой его первого столбца на столбец свободных членов, определитель получен из заменой его второго столбца на столбец свободных членов и т.д.. Разложим каждый из определителей по столбцу из свободных членов Тогда
(1.25) |
Из сравнения полученных результатов (1.25) с числителями равенств (1.24) следует, что решение системы (1.19) можно записать в виде
(1.26) |
Формулы (1.26) называются формулами Крамера.
Примеры решения по формулам Крамера
ПРИМЕР 1.1.13
Решить по формулам Крамера систему уравнений
Решение. Система содержит одинаковое число уравнений и неизвестных. Вычислим определитель этой системы.
Так как ,то решение можно найти по формулам Крамера:
Тогда
Ответ: {1;2}.
ПРИМЕР 1.1.14
Решить матричным способом систему уравнений
Система содержит одинаковое число уравнений и неизвестных. Вычислим определитель этой системы:
Так как , то система может быть решена матричным способом.
Составим матрицы
Так как определитель системы , то матрица имеет обратную матрицу , где
Вычислим алгебраические дополнения всех элементов
Тогда
Так как решением является , то
Или Ответ: {1,1,1}