Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений

Помощь по математике

Пусть задана система из линейных уравнений с неизвестными:

(1.27)



Допустим, что в системе коэффициент при в первом уравнении Разделив обе части этого уравнения на , получим равносильную данной систему:

(1.28)

где

Исключим с помощью первого уравнения системы (1.28) неизвестное из всех оставшихся уравнений этой системы. Для этого умножим первое уравнение этой системы последовательно на и в том же порядке вычтем полученное из второго, третьего и последующих уравнений системы (1.28). В результате получим равносильную систему вида

(1.29)

где

Допустим, что коэффициент при во втором уравнении системы (1.29) отличен от нуля. В противном случае переставим местами уравнения этой системы, записав вторым другое уравнение с подходящим вторым коэффициентом.

Исключим неизвестное с помощью второго уравнения из всех последующих уравнений. Для этого разделам второе уравнение на . Затем умножим последовательно полученное второе уравнение на и вычтем эти результаты из третьего, четвертого и всех оставшихся уравнений.

В итоге получим очередную систему уравнений:

где

Продолжая этот процесс исключения неизвестных, получим либо несовместную, либо совместную систему уравнений. В первом случае в системе будет содержаться уравнение, в котором все коэффициенты левой части равны нулю, а свободный член отличен от нуля, т.е. уравнение вида , где . Во втором случае получим либо систему треугольной формы

(1.30)

либо систему трапециевидной (ступенчатой) формы

(1.31)

В случае треугольной системы из последнего уравнения (1.30) следует, что Подставляя это значение в предпоследнее уравнение системы (1.30), найдем неизвестное . Подставляя значения и в предыдущее уравнение, найдем значение неизвестного и т.д.

Таким образам, если данная система (1.27) с помощью элементарных преобразований приводится к системе треугольной формы, то система имеет единственное решение (т.е. система совместна и определенна).

В случае системы ступенчатой формы (1.31), перенося все слагаемые, содержащие неизвестные в правую часть уравнений, получим систему вида

(1.32)

Из (1.32) следует, что значения неизвестных выражаются через значения неизвестных . Так как последним неизвестным, называемым свободными неизвестными, можно придавать любые произвольные значения, то система (1.32), а вместе с ней и данная система (1.27), имеет бесконечное множество решений.

Итак, если данная система приводится к трапециевидной форме, то она имеет бесконечное множество решений (т.е. система совместна и неопределенна). Найденные решения, записанные в форме

где любые числа, называются общими решениями системы. Решения, полученные из общих решений при конкретных значениях свободных неизвестных , называются частными решениями.

Заключение

Матричный способ решения систем линейных уравнений, как и решение методом Крамера, применим только для особых систем линейных уравнений, в которых количество неизвестных совпадает с количеством уравнений. Метод Гаусса применим для решения произвольных систем линейных уравнений и, следовательно, является универсальным методом. Этот метод позволяет существенно упростить и сам процесс поиска решений, если все промежуточные преобразования осуществить над специальной матрицей составленной из коэффициентов системы (1.27) и ее свободных членов.

Матрица В называется расширенной матрицей системы. Она позволяет заменить элементарные преобразования системы уравнений на соответствующие элементарные преобразования над своими строками, что существенно сокращает процесс поиска решении.

Примеры решения методом Гаусса

ПРИМЕР 1.1.15

Решить систему уравнений методом Гаусса.

Построим расширенную матрицу системы

Исключая с помощью первой строки неизвестное из всех оставшихся строк матрицы , получим

где символ есть символ элементарного преобразования матрицы.

Исключая с помощью второй строки неизвестное из всех последующих строк матрицы , получим

Исключая с помощью третьей строки неизвестное из четвертой строки, получим:

Матрица имеет треугольную форму. Следовательно, заданная система эквивалентна системе

Последовательно вычисляя из последнего уравнения, далее из третьего, из второго и из первого уравнения этой системы найдем, что =2, =1, =0, =1. Итак, заданная система имеет единственное решение =1, =0, =1, =2.

ПРИМЕР 1.1.16

Решить систему уравнений

Построим расширенную матрицу системы

Таким образом, заданная система эквивалентна системе,

которая имеет ступенчатый вид, и, следовательно, имеет бесконечное множество решений. Выразим переменные через :

;

Итак, общим решением данной системы будет

любое число.

Полагая, в частности, найдем, что . Тогда , будет одним из частных решений системы.

Поделиться с друзьями