Линейная комбинация векторов. Базис

Помощь по математике

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.29

Пусть заданы векторы Комбинация 002.gif и числа Комбинация 004.gif.



Выражение Комбинация 006.gif называется линейной комбинацией векторов Комбинация 002.gif. Очевидно, что линейная комбинация векторов является вектором. Рассмотрим особый случай, когда

Комбинация 009.gif. (1.37)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.30

Если равенство (1.37) возможно только при всех Комбинация 004.gif, равных нулю, то векторы Комбинация 002.gif называются линейно-независимыми. Если же это равенство справедливо не при всех Комбинация 013.gif, где Комбинация 015.gif, то векторы называются линейно-зависимыми.

Пусть Комбинация 002.gif линейно-зависимы. Тогда среди Комбинация 018.gif найдется хотя бы одно не равное нулю число. Пусть Комбинация 020.gif. Разделив обе части равенства (1.37) на Комбинация 022.gif, получим

Комбинация 024.gif,

где Комбинация 026.gif.

Выражение Комбинация 028.gif является линейной комбинацией векторов Комбинация 030.gif. Итак, если векторы линейно-зависимы, то хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных.

Справедливо и обратное утверждение: если хотя бы один вектор является линейной комбинацией других векторов, то вся группа векторов линейно-зависима. Пусть, например, Комбинация 032.gif.

Тогда Комбинация 034.gif и коэффициент при Комбинация 036.gif отличен от нуля. Это означает, что вектора Комбинация 038.gif линейно-зависимы.

Примерами линейно-зависимых векторов являются любые два вектора прямой; любые три вектора плоскости; любые четыре вектора пространства (рис. 1.1.12-1.1.13).

Комбинация 039.gif

Рисунок 1.1.12

Комбинация 040.gif

Рисунок 1.1.13

В то же время два неколлинеарных вектора Комбинация 036.gif и Комбинация 043.gifплоскости (рис. 1.1.13) или три некомпланарных вектора Комбинация 045.gifпространства (рис. 1.1.14) являются примерами линейно-независимых векторов.

Комбинация 046.gif

Рисунок 1.1.14

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.31

Любая группа, составленная из максимального числа линейно-независимых векторов некоторого пространства Комбинация 048.gif, называется базисом этого пространства. Число векторов базиса называется размерностью пространства. Так, базисом на прямой (пространство Комбинация 050.gif ) является любой ненулевой вектор этой прямой. Размерность прямой равна единице. Базисом на плоскости (пространство Комбинация 052.gif) являются любые два неколлинеарных вектора этой плоскости. Размерность плоскости равна двум. Базисом в объемном пространстве (пространство Комбинация 054.gif) являются любые три некомпланарные вектора. Размерность этого пространства равна трем.

Пусть векторы Комбинация 056.gif образуют базис Комбинация 058.gif. Тогда любой вектор Комбинация 060.gif этого пространства является линейной комбинацией базисных векторов, то есть

Комбинация 062.gif. (1.38)

Представление вектора Комбинация 064.gif в форме (1.38) называется разложением этого вектора по базисным векторам.

Числа Комбинация 066.gifразложения называются координатами вектора Комбинация 064.gif по базису Комбинация 056.gif. Этот факт записывается в виде Комбинация 070.gif.

Векторы Комбинация 072.gif называется компонентами вектора Комбинация 060.gif по базисным векторам Комбинация 075.gif.

Если векторы Комбинация 075.gif, образующие базис, имеют общее начало Комбинация 078.gif и вектор Комбинация 080.gif, где Комбинация 082.gif некоторая точка пространства, то числа Комбинация 066.gifназываются также координатами этой точки. Этот факт записывают в виде Комбинация 085.gif.

Поделиться с друзьями