ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.32
Пусть в пространстве векторы
образуют базис этого пространства. Выберем в
произвольную точку
и отложим с началом в этой точке базисные векторы. Совокупность точки
и трех базисных векторов называется системой координат в пространстве
. Ввиду произвольности выбора точки и выбора базисных векторов в
можно построить бесконечное множество систем координат. Выберем за базисные векторы три взаимно перпендикулярных единичных вектора
. Совокупность точки
и базисных векторов
называется прямоугольной декартовой системой координат в пространстве
.
Выберем в произвольную точку
и построим вектор
. Так как векторы
образуют базис, то согласно (1.38) вектор
можно разложить на компоненты по этому базису:
![]() |
(1.39) |
где координаты вектора
в заданном базисе.
Рисунок 1.1.15
Проведем через точку в направлении векторов
оси
соответственно и спроектируем вектор
на каждую из осей (рис. 1.1.15).
Пусть точки есть проекция точки
на оси абсцисс, ординат и аппликат соответственно.
Тогда , (1.40)
Из сравнения (1.40) с (1.39) следует, что координаты вектора определяется по формулам
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
(1.40) |
В прямоугольной декартовой системе эти координаты принято обозначать через соответственно и называть прямоугольными декартовыми координатами вектора
или декартовыми координатами точки
Итак,
![]() |
(1.41) |
Координаты точки записываются в форме
Пусть вектор
задан в координатной форме
Так как этот вектор совпадает с диагональю прямоугольного параллелепипеда (рис.5.15), то его длина равна длине этой диагонали. Следовательно,
![]() |
(1.42) |
Обозначим через углы, между вектором
и осями координат
. Тогда из прямоугольных треугольников
получим
![]() |
(1.43) |
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.33
Косинусы углов , определяемые по (1.44), называются направляющими косинусами вектора
. Нетрудно проверить, что направляющие косинусы связаны между собой соотношением
![]() |
(1.44) |
ПРИМЕР 1.1.18
Доказать, что в прямоугольной декартовой системе координат векторы имеют координаты
Доказательство. Так как векторы образуют базис прямоугольной декартовой системы координат, то
Следовательно,
Но
По формуле (1.38) получим, что
.
Аналогично доказываются оставшиеся равенства.