Прямоугольная Декартова система координат

Помощь по математике

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.32

Пусть в пространстве Система 002.gif векторы Система 004.gif образуют базис этого пространства. Выберем в Система 002.gif произвольную точку Система 007.gif и отложим с началом в этой точке базисные векторы. Совокупность точки Система 007.gif и трех базисных векторов называется системой координат в пространстве Система 002.gif. Ввиду произвольности выбора точки и выбора базисных векторов в Система 002.gif можно построить бесконечное множество систем координат. Выберем за базисные векторы три взаимно перпендикулярных единичных вектора Система 012.gif. Совокупность точки Система 007.gif и базисных векторов Система 015.gif называется прямоугольной декартовой системой координат в пространстве Система 002.gif.



Выберем в Система 002.gif произвольную точку Система 019.gifи построим вектор Система 021.gif. Так как векторы Система 015.gifобразуют базис, то согласно (1.38) вектор Система 021.gif можно разложить на компоненты по этому базису:

Система 025.gif, (1.39)

где Система 027.gif координаты вектора Система 021.gif в заданном базисе.

Система 029.gif

Рисунок 1.1.15

Проведем через точку Система 007.gif в направлении векторов Система 015.gif оси Система 033.gif Система 035.gif соответственно и спроектируем вектор Система 021.gif на каждую из осей (рис. 1.1.15).

Пусть точки Система 038.gif есть проекция точки Система 040.gif на оси абсцисс, ординат и аппликат соответственно.

Тогда Система 042.gif, (1.40)

Из сравнения (1.40) с (1.39) следует, что координаты вектора Система 021.gif определяется по формулам

Система 045.gifпрox Система 047.gif Система 049.gifпрoy Система 047.gif Система 052.gifпрoz Система 054.gif (1.40)

В прямоугольной декартовой системе эти координаты принято обозначать через Система 056.gif соответственно и называть прямоугольными декартовыми координатами вектора Система 021.gif или декартовыми координатами точки Система 059.gif Итак,

Система 061.gif (1.41)

Координаты точки Система 063.gif записываются в форме Система 065.gif Пусть вектор Система 067.gif задан в координатной форме Система 069.gif Так как этот вектор совпадает с диагональю прямоугольного параллелепипеда (рис.5.15), то его длина равна длине этой диагонали. Следовательно,

Система 071.gif (1.42)

Обозначим через Система 073.gif углы, между вектором Система 075.gif и осями координат Система 077.gif. Тогда из прямоугольных треугольников

Система 079.gif получим

Система 081.gif Система 083.gif

Система 085.gif (1.43)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.33

Косинусы углов Система 087.gif, определяемые по (1.44), называются направляющими косинусами вектора Система 089.gif. Нетрудно проверить, что направляющие косинусы связаны между собой соотношением

Система 091.gif (1.44)

ПРИМЕР 1.1.18

Доказать, что в прямоугольной декартовой системе координат векторы Система 015.gif имеют координаты

Система 094.gif

Доказательство. Так как векторы Система 015.gif образуют базис прямоугольной декартовой системы координат, то Система 097.gif Следовательно, Система 099.gif

Но Система 101.gif

По формуле (1.38) получим, что

Система 103.gif.

Аналогично доказываются оставшиеся равенства.

Поделиться с друзьями