Прямоугольная Декартова система координат

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.32

Пусть в пространстве векторы образуют базис этого пространства. Выберем в произвольную точку и отложим с началом в этой точке базисные векторы. Совокупность точки и трех базисных векторов называется системой координат в пространстве . Ввиду произвольности выбора точки и выбора базисных векторов в можно построить бесконечное множество систем координат. Выберем за базисные векторы три взаимно перпендикулярных единичных вектора . Совокупность точки и базисных векторов называется прямоугольной декартовой системой координат в пространстве .

Помощь с решением задач

Выберем в произвольную точку и построим вектор . Так как векторы образуют базис, то согласно (1.38) вектор можно разложить на компоненты по этому базису:

(1.39)

где координаты вектора в заданном базисе.

Система 029.gif

Рисунок 1.1.15

Проведем через точку в направлении векторов оси соответственно и спроектируем вектор на каждую из осей (рис. 1.1.15).

Пусть точки есть проекция точки на оси абсцисс, ординат и аппликат соответственно.

Тогда , (1.40)

Из сравнения (1.40) с (1.39) следует, что координаты вектора определяется по формулам

пр_ox

пр_oy

пр_oz

(1.40)

В прямоугольной декартовой системе эти координаты принято обозначать через соответственно и называть прямоугольными декартовыми координатами вектора или декартовыми координатами точки Итак,

(1.41)

Координаты точки записываются в форме Пусть вектор задан в координатной форме Так как этот вектор совпадает с диагональю прямоугольного параллелепипеда (рис.5.15), то его длина равна длине этой диагонали. Следовательно,

(1.42)

Обозначим через углы, между вектором и осями координат . Тогда из прямоугольных треугольников

получим

Система 081.gif Система 083.gif

(1.43)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.33

Косинусы углов , определяемые по (1.44), называются направляющими косинусами вектора . Нетрудно проверить, что направляющие косинусы связаны между собой соотношением