Линейные операции над векторами

Помощь по математике

Линейными операциями над векторами называются операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число.

Сложение векторов



Векторная операция 001.gif

Рисунок 1.1.2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.26

Суммой векторов Векторная операция 003.gif и Векторная операция 005.gif называется третий вектор Векторная операция 007.gif, начало которого совпадает с началом вектора Векторная операция 003.gif, а конец – с концом вектора Векторная операция 005.gif, при условии, что начало вектора Векторная операция 005.gif приложено к концу вектора Векторная операция 003.gif(рис. 1.1.2).

Векторная операция 008.gif

Рисунок 1.1.3

Сумма векторов может быть найдена и по правилу параллелограмма (рис. 1.1.3). Из определения суммы векторов следует, что сложение векторов подчиняется переместительному закону Векторная операция 010.gif. Действительно, пусть Векторная операция 012.gif, Векторная операция 014.gif и Векторная операция 016.gif есть параллелограмм. Тогда Векторная операция 018.gif, Векторная операция 020.gif и Векторная операция 022.gif, Векторная операция 024.gif Векторная операция 026.gif. Отсюда, Векторная операция 010.gif.

Понятие суммы векторов, введенное для двух векторов, можно обобщить на сумму любого конечного числа слагаемых. Например, если заданы три вектора Векторная операция 029.gif и Векторная операция 031.gif, то суммой этих векторов называется вектор Векторная операция 033.gif, определяемый по правилу Векторная операция 035.gif. Аналогично, если заданы векторы Векторная операция 037.gif, где Векторная операция 039.gif, то суммой этих векторов называется вектор

Векторная операция 041.gif.

Покажем, что сложение векторов подчиняется сочетательному закону Векторная операция 043.gif (рис. 1.1.4).

Векторная операция 044.gif

Рисунок 1.1.4

Пусть Векторная операция 046.gif, Векторная операция 048.gif, Векторная операция 050.gif. Тогда Векторная операция 052.gif Векторная операция 054.gif, Векторная операция 056.gif Векторная операция 058.gif, Векторная операция 060.gif Векторная операция 062.gif. Следовательно,

Векторная операция 043.gif.

Разность векторов (вычитание)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.27

Разностью векторов Векторная операция 065.gif и Векторная операция 067.gif называется такой вектор Векторная операция 069.gif, что Векторная операция 071.gif. Для построения вектора Векторная операция 073.gif по данным векторам Векторная операция 065.gif и Векторная операция 067.gif можно воспользоваться одним из способов, сущность которых пояснена на рис. 1.1.5 и рис. 1.1.6

Векторная операция 076.gif

Рисунок 1.1.5

Векторная операция 077.gif

Рисунок 1.1.6

Умножение вектора на число

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.28

Пусть даны вектор Векторная операция 065.gif и число Векторная операция 080.gif. Произведением вектора Векторная операция 065.gif на число Векторная операция 080.gif называется вектор Векторная операция 083.gif, коллинеарный вектору Векторная операция 065.gif, имеющий длину Векторная операция 086.gif и то же направление, что и вектор Векторная операция 065.gif, если Векторная операция 089.gif, и противоположное направление, если Векторная операция 091.gif.Если Векторная операция 093.gif, то Векторная операция 095.gif.

Следствие 1.

Из определения умножения вектора на число следует, что если Векторная операция 097.gif, то векторы Векторная операция 067.gif и Векторная операция 065.gif коллинеарны. Очевидно, что если Векторная операция 065.gif и Векторная операция 067.gifколлинеарные векторы, то Векторная операция 097.gif. Таким образом, два вектора Векторная операция 065.gif и Векторная операция 067.gif коллинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство Векторная операция 097.gif.

Следствие 2.

Противоположный вектор Векторная операция 107.gif можно рассматривать как произведение вектора Векторная операция 109.gif на Векторная операция 111.gif, то есть Векторная операция 113.gif

Следствие 3.

Пусть дан вектор Векторная операция 065.gif. Рассмотрим вектор Векторная операция 116.gif, коллинеарный Векторная операция 065.gif, направленный, как Векторная операция 065.gif, имеющий длину, равную единице. Тогда, согласно операции умножения вектора на число, следует, что

Векторная операция 120.gif (1.33)

Умножение вектора на число подчиняется распределительным законам

Векторная операция 122.gif и сочетательному закону Векторная операция 124.gif.

Покажем, например, справедливость первого из распределительных законов. Построим на векторах Векторная операция 126.gif параллелограмм Векторная операция 128.gif, на векторах Векторная операция 130.gif параллелограмм Векторная операция 132.gif (рис. 1.1.7). Из подобия этих параллелограммов следует, что Векторная операция 134.gif.

Векторная операция 135.gif

Рисунок 1.1.7

Аналогично можно убедиться и в справедливости оставшихся законов.

ПРИМЕР 1.1.17

Точка Векторная операция 137.gif является центром тяжести треугольника Векторная операция 139.gif. Доказать, что Векторная операция 141.gif.

Решение Известно, что центр тяжести треугольника находится в точке пересечения его медиан. Обозначим через Векторная операция 143.gif середину стороны Векторная операция 145.gif и построим вектор Векторная операция 147.gif (рис. 1.1.8).

Векторная операция 148.gif

Рисунок 1.1.8

Тогда, согласно операции умножения вектора на скаляр и свойства медианы, получим Векторная операция 150.gif. Построим на векторах Векторная операция 152.gif и Векторная операция 154.gif параллелограмм Векторная операция 156.gif

(рис.1.1.8).

Тогда, согласно операции сложения векторов, Векторная операция 158.gif. Точка Векторная операция 160.gif является точкой пересечения диагоналей этого параллелограмма.

Следовательно, Векторная операция 162.gif или

Векторная операция 164.gif. Итак,

Векторная операция 166.gif.

Отсюда Векторная операция 168.gif.

Поделиться с друзьями