Линейными операциями над векторами называются операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число.
Сложение векторов
Рисунок 1.1.2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.26
Суммой векторов и
называется третий вектор
, начало которого совпадает с началом вектора
, а конец – с концом вектора
, при условии, что начало вектора
приложено к концу вектора
(рис. 1.1.2).
Рисунок 1.1.3
Сумма векторов может быть найдена и по правилу параллелограмма (рис. 1.1.3). Из определения суммы векторов следует, что сложение векторов подчиняется переместительному закону . Действительно, пусть
,
и
есть параллелограмм. Тогда
,
и
,
. Отсюда,
.
Понятие суммы векторов, введенное для двух векторов, можно обобщить на сумму любого конечного числа слагаемых. Например, если заданы три вектора и
, то суммой этих векторов называется вектор
, определяемый по правилу
. Аналогично, если заданы векторы
, где
, то суммой этих векторов называется вектор
.
Покажем, что сложение векторов подчиняется сочетательному закону (рис. 1.1.4).
Рисунок 1.1.4
Пусть ,
,
. Тогда
,
,
. Следовательно,
.
Разность векторов (вычитание)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.27
Разностью векторов и
называется такой вектор
, что
. Для построения вектора
по данным векторам
и
можно воспользоваться одним из способов, сущность которых пояснена на рис. 1.1.5 и рис. 1.1.6
Рисунок 1.1.5
Рисунок 1.1.6
Умножение вектора на число
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.28
Пусть даны вектор и число
. Произведением вектора
на число
называется вектор
, коллинеарный вектору
, имеющий длину
и то же направление, что и вектор
, если
, и противоположное направление, если
.Если
, то
.
Следствие 1.
Из определения умножения вектора на число следует, что если , то векторы
и
коллинеарны. Очевидно, что если
и
коллинеарные векторы, то
. Таким образом, два вектора
и
коллинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство
.
Следствие 2.
Противоположный вектор можно рассматривать как произведение вектора
на
, то есть
Следствие 3.
Пусть дан вектор . Рассмотрим вектор
, коллинеарный
, направленный, как
, имеющий длину, равную единице. Тогда, согласно операции умножения вектора на число, следует, что
![]() |
(1.33) |
Умножение вектора на число подчиняется распределительным законам
и сочетательному закону
.
Покажем, например, справедливость первого из распределительных законов. Построим на векторах параллелограмм
, на векторах
параллелограмм
(рис. 1.1.7). Из подобия этих параллелограммов следует, что
.
Рисунок 1.1.7
Аналогично можно убедиться и в справедливости оставшихся законов.
ПРИМЕР 1.1.17
Точка является центром тяжести треугольника
. Доказать, что
.
Решение Известно, что центр тяжести треугольника находится в точке пересечения его медиан. Обозначим через середину стороны
и построим вектор
(рис. 1.1.8).
Рисунок 1.1.8
Тогда, согласно операции умножения вектора на скаляр и свойства медианы, получим . Построим на векторах
и
параллелограмм
(рис.1.1.8).
Тогда, согласно операции сложения векторов, . Точка
является точкой пересечения диагоналей этого параллелограмма.
Следовательно, или
. Итак,
.
Отсюда .