Пусть заданы векторы 
и 
. Выберем в пространстве произвольную точку 
и отложим от этой точки векторы 
и 
.
Углом между векторами 
и 
называется наименьший угол 
, на который нужно повернуть один из заданных векторов до его совпадения со вторым (рис. 1.1.9).
Рисунок 1.1.9
Пусть в пространстве заданы вектор 
и ось 
(рис. 1.1.10).
Рисунок 1.1.10
Обозначим через 
и 
проекции на ось 
точек 
и 
соответственно. Построим вектор 
и назовем его компонентом вектора 
по оси 
.
Проекцией вектора 
на ось 
называется длина его компоненты 
по этой оси, если компонента направлена в ту же сторону, что и ось 
; противоположное число, если компонента и ось имеют разные направления, нуль,
если компонента есть нулевой вектор. Проекция вектора на ось обозначается в виде 
или 
.
Выберем на оси 
единичный вектор 
имеющий то же направление, что и ось 
. Углом между векторами 
и 
называется угол между вектором 
и осью 
.
ТЕОРЕМА 1.4 Проекция вектора 
на ось 
равна модулю вектора 
, умноженному на косинус угла 
между вектором и осью:
 |
(1.34) |
Доказательство: Пусть 
и 
является компонентой вектора 
на ось 
(рис. 1.1.11).
Рисунок 1.1.11
Если угол 
между 
и осью острый, то компонента 
направлена в ту же сторону, что и ось 
. Тогда 
. Из треугольника 
следует, что 
. Тогда 
.
Если же 
, то компонента 
направлена в противоположную по отношению к оси 
сторону. Следовательно, 
. Из треугольника 
следует, что 
. Тогда 
.
Если 
, то компонента есть нулевой вектор. Тогда и 
.
Итак, для любых углов 
. Опираясь на ранее рассмотренные линейные операции над векторами, можно убедиться, что для проекций векторов на ось справедливы следующие теоремы (без доказательств).
ТЕОРЕМА 1.5
Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекции слагаемых векторов на ту же ось:
 |
(1.35) |
Если вектор 
умножить на число 
, то его проекция на ось умножится на это число:
 |
(1.36) |