Пусть векторы и заданы в координатной форме:
(1.45) |
Непосредственно из теорем 1.5 и 1.6 о проекциях векторов на ось и определения координат вектора (1.38) вытекают правила:
, если | (1.46) |
(1.47) |
(1.48) |
, где | (1.49) |
ПРИМЕР 1.1.19
(Условие коллинеарности двух векторов).
Установить условие коллинеарности векторов и , если
.
Решение Так как векторы коллинеарны, то , где некоторое число. Согласно (1.46) — (1.49) имеем
|
(1.50) |
Легко проверяется, что если координаты векторов удовлетворяют равенствам (1.50), то
Равенства (1.50) называются условием коллинеарности двух векторов.
Координаты единичного вектора
ПРИМЕР 1.1.20
Определить координаты единичного вектора , если .
Решение.
Согласно формуле (33)
.
Из (1.44) следует, что
.
Под простейшими задачами аналитической геометрии понимаются задачи определения расстояния между двумя точками и деления некоторого отрезка в данном отношении.
Задача определения расстояния между двумя точками
Пусть в пространстве заданы своими координатами две точки Построим векторы (рис. 1.1.16).
Рисунок 1.1.16
Тогда
Согласно правилу (1.48)
.
Так как длина вектора равна расстоянию между точками и , то искомое расстояние найдется по формуле (1.43). Итак,
(1.51) |
Заметим, что в процессе решения этой задачи установлена формула определения координат вектора, если заданы координаты его начальной и конечной точек:
(1.52) |
Задача деления отрезка в данном отношении
Пусть даны две точки и . Требуется на прямой (рис. 1.1.17) найти точку , которая разделила бы отрезок в заданном отношении , т.е. так, что . Согласно формуле (1.52)
Тогда по правилу (1.49) равенство примет вид .
Определяя из этих равенств, получим
(1.53) |
где .
Рисунок 1.1.17
Формулы (1.53) являются формулами деления отрезка в данном отношении. В частности, при получим формулы деления отрезка пополам:
(1.54) |
ПРИМЕР 1.1.21
Вершины треугольника имеет координаты . Найти длину медианы этого треугольника.
Решение Точка делит отрезок пополам. Тогда, согласно формул (1.53), получим:
Искомое расстояние найдем по формуле (1.51)