Линейные операции над векторами, заданными в координатной форме

Пусть векторы и заданы в координатной форме:

(1.45)

Непосредственно из теорем 1.5 и 1.6 о проекциях векторов на ось и определения координат вектора (1.38) вытекают правила:

, если

(1.46)

Помощь с решением задач

(1.47)

(1.48)

, где

(1.49)

ПРИМЕР 1.1.19

(Условие коллинеарности двух векторов).

Установить условие коллинеарности векторов и , если

Решение Так как векторы коллинеарны, то , где некоторое число. Согласно (1.46) — (1.49) имеем

(1.50)

Легко проверяется, что если координаты векторов удовлетворяют равенствам (1.50), то

Равенства (1.50) называются условием коллинеарности двух векторов.

Координаты единичного вектора

ПРИМЕР 1.1.20

Определить координаты единичного вектора , если .

Решение.

Согласно формуле (33)

Из (1.44) следует, что

Под простейшими задачами аналитической геометрии понимаются задачи определения расстояния между двумя точками и деления некоторого отрезка в данном отношении.

Задача определения расстояния между двумя точками

Пусть в пространстве заданы своими координатами две точки Построим векторы (рис. 1.1.16).

Рисунок 1.1.16

Тогда

Согласно правилу (1.48)

Так как длина вектора равна расстоянию между точками и , то искомое расстояние найдется по формуле (1.43). Итак,

(1.51)

Заметим, что в процессе решения этой задачи установлена формула определения координат вектора, если заданы координаты его начальной и конечной точек:

(1.52)

Задача деления отрезка в данном отношении

Пусть даны две точки и . Требуется на прямой (рис. 1.1.17) найти точку , которая разделила бы отрезок в заданном отношении , т.е. так, что . Согласно формуле (1.52)