Пусть даны два вектора и . В векторной алгебре рассматриваются два вида умножения векторов: скалярное, результатом которого является число, и векторное, результатом которого является вектор.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.34

Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению модулей перемножаемых векторов на косинус угла между ними (рис.1.1.18). Скалярное произведение обозначается символом . Итак,

.

(1.55)

Рисунок 1.1.18

Так как

то

(1.56)

Из (1.56) следует, что скалярное произведение векторов и равно модулю одного из векторов, умноженному на проекцию другого на направление первого вектора.

Свойства скалярного произведения векторов:

1. 
2. , если или хотя бы один из векторов есть нулевой вектор (справедливо и обратное утверждение);
3. 
4. для
5. 

Справедливость первых четырех свойств непосредственно следует из определения скалярного произведения. Докажем справедливость распределительного свойства 5. Согласно формуле (56) и теореме 13.2 о проекции имеем

Пусть векторы и заданы своими координатами:

Найдем скалярное произведение . Вычислим предварительно скалярные произведения единичных векторов.

Имеем Векторы взаимно перпендикулярны. Тогда, согласно свойству 2, их произведения друг на друга равны нулю.

Используя распределительный закон скалярного произведения, получим

Итак, если векторы и заданы своими координатами, то

.

(1.57)

Следствие 1.

Если то или

.

(1.58)

Условие (1.58) называется условием перпендикулярности двух векторов,

Следствие 2.

Так как ,то

(1.59)

ПРИМЕР 1.1.22

Вычислить работу по перемещению материальной точки вдоль отрезка, из точки в точку под действием постоянной по величине и направлению силы

Решение Из курса физики известно, что работа , совершаемая при указанных в примере условиях, находится по формуле . Так как , то

Ответ: 5.

ПРИМЕР 1.1.23

Даны вершины треугольника и . Определить внутренний угол треугольника при вершине (рис. 1.1.19)

Рисунок 1.1.19

Решение Построим векторы и . Имеем

. Тогда

Ответ:

Из приведенных примеров следует, что скалярное произведение векторов широко применяется в геометрии при поиске величин углов, в физике — при определении работы.

• Векторное произведение векторов
• Курс математики