Скалярное произведение векторов

Помощь по математике

Пусть даны два вектора Скалярное произведение 002.gif и Скалярное произведение 004.gif. В векторной алгебре рассматриваются два вида умножения векторов: скалярное, результатом которого является число, и векторное, результатом которого является вектор.



ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.34

Скалярным произведением векторов Скалярное произведение 002.gif и Скалярное произведение 004.gif называется число, равное произведению модулей перемножаемых векторов на косинус угла Скалярное произведение 008.gif между ними (рис.1.1.18). Скалярное произведение обозначается символом Скалярное произведение 010.gif. Итак,

Скалярное произведение 012.gif. (1.55)

Скалярное произведение 014.gif

Рисунок 1.1.18

Так как Скалярное произведение 016.gif Скалярное произведение 018.gif

то

Скалярное произведение 020.gif (1.56)

Из (1.56) следует, что скалярное произведение векторов Скалярное произведение 022.gif и Скалярное произведение 024.gifравно модулю одного из векторов, умноженному на проекцию другого на направление первого вектора.

Свойства скалярного произведения векторов:

  1. Скалярное произведение 026.gif
  2. Скалярное произведение 028.gif, если Скалярное произведение 030.gif или хотя бы один из векторов есть нулевой вектор (справедливо и обратное утверждение);
  3. Скалярное произведение 032.gif
  4. Скалярное произведение 034.gif для Скалярное произведение 036.gif
  5. Скалярное произведение 038.gif

Справедливость первых четырех свойств непосредственно следует из определения скалярного произведения. Докажем справедливость распределительного свойства 5. Согласно формуле (56) и теореме 13.2 о проекции имеем

Скалярное произведение 040.gif Скалярное произведение 042.gif Скалярное произведение 044.gif Скалярное произведение 046.gif Скалярное произведение 048.gif Скалярное произведение 050.gif

Скалярное произведение 052.gif

Пусть векторы Скалярное произведение 002.gif и Скалярное произведение 004.gif заданы своими координатами:

Скалярное произведение 056.gif

Найдем скалярное произведение Скалярное произведение 058.gif. Вычислим предварительно скалярные произведения единичных векторов.

Имеем Скалярное произведение 060.gif Векторы Скалярное произведение 062.gif взаимно перпендикулярны. Тогда, согласно свойству 2, их произведения друг на друга равны нулю.

Используя распределительный закон скалярного произведения, получим

Скалярное произведение 064.gif

Скалярное произведение 066.gif Скалярное произведение 068.gif

Итак, если векторы Скалярное произведение 002.gif и Скалярное произведение 004.gif заданы своими координатами, то

Скалярное произведение 072.gif. (1.57)

Следствие 1.

Если Скалярное произведение 074.gifто Скалярное произведение 076.gif или

Скалярное произведение 078.gif. (1.58)

Условие (1.58) называется условием перпендикулярности двух векторов,

Следствие 2.

Так как Скалярное произведение 012.gif,то

Скалярное произведение 081.gif (1.59)

ПРИМЕР 1.1.22

Вычислить работу по перемещению материальной точки вдоль отрезка, из точки Скалярное произведение 083.gif в точку Скалярное произведение 085.gif под действием постоянной по величине и направлению силы Скалярное произведение 087.gif

Решение Из курса физики известно, что работа Скалярное произведение 089.gif, совершаемая при указанных в примере условиях, находится по формуле Скалярное произведение 091.gif. Так как Скалярное произведение 093.gif, то

Скалярное произведение 095.gif Ответ: 5.

ПРИМЕР 1.1.23

Даны вершины треугольника Скалярное произведение 097.gif и Скалярное произведение 099.gif. Определить внутренний угол треугольника при вершине Скалярное произведение 101.gif (рис. 1.1.19)

Скалярное произведение 103.gif

Рисунок 1.1.19

Решение Построим векторы Скалярное произведение 106.gif и Скалярное произведение 108.gif. Имеем

Скалярное произведение 110.gif . Тогда

Скалярное произведение 112.gif

Скалярное произведение 114.gif Скалярное произведение 104.gif Ответ: Скалярное произведение 116.gif

Из приведенных примеров следует, что скалярное произведение векторов широко применяется в геометрии при поиске величин углов, в физике — при определении работы.

Поделиться с друзьями