Пусть дана квадратная матрица порядка .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.13

Квадратная матрица порядка называется обратной матрицей для данной матрицы , если

(1.16)

где единичная матрица.

Обозначим через определитель матрицы и вычислим его. Тогда, если , то матрицу называют неособенной (невырожденной) матрицей, если же , то особенной (вырожденной) матрицей.

ТЕОРЕМА 1.3

Всякая неособенная матрица имеет обратную матрицу , определяемую формулой

,

(1.17)

где есть алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы .

Доказательство. Покажем, что Действительно,

Согласно обобщению теоремы 1.1 о разложении определителя по элементам любой строки все элементы, расположенные на главной диагонали предыдущей матрицы, равны , а оставшиеся элементы, согласно обобщению теоремы 1.2, равны нулю. Тогда

Аналогично доказывается, что

ПРИМЕР 1.1.12

Найти матрицу , если

Решение. Выясним, является ли матрица невырожденной

Так как определитель , то матрица невырожденная и имеет обратную матрицу .

где

Подставляя найденные числа в формулу для , получим

• Определители и матрицы при решении cистем линейных уравнений
• Курс математики