Пусть дана квадратная матрица порядка
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.13
Квадратная матрица порядка
называется обратной матрицей для данной матрицы
, если
![]() |
(1.16) |
где единичная матрица.
Обозначим через определитель матрицы
и вычислим его. Тогда, если
, то матрицу
называют неособенной (невырожденной) матрицей, если же
, то особенной (вырожденной) матрицей.
ТЕОРЕМА 1.3
Всякая неособенная матрица имеет обратную матрицу
, определяемую формулой
![]() |
(1.17) |
где есть алгебраические дополнения соответствующих элементов
матрицы
.
Доказательство. Покажем, что Действительно,
Согласно обобщению теоремы 1.1 о разложении определителя по элементам любой строки все элементы, расположенные на главной диагонали предыдущей матрицы, равны , а оставшиеся элементы, согласно обобщению теоремы 1.2, равны нулю. Тогда
Аналогично доказывается, что
ПРИМЕР 1.1.12
Найти матрицу , если
Решение. Выясним, является ли матрица невырожденной
Так как определитель , то матрица
невырожденная и имеет обратную матрицу
.
где
Подставляя найденные числа в формулу для , получим