Определители n-го порядка с примерами

Помощь по математике

Пусть дана квадратная матрица А n-го порядка



Определитель n-го порядка, соответствующий квадратной матрице А, обозначается символом

(1.12)

и определяется как число

(1.13)

где есть миноры соответствующих элементов , т.е. определители го порядка, полученные из данного вычеркиванием его первой строки и соответственно первого, второго,. . . , го его столбцов.

Например,

Так как каждый минор , где есть определитель го порядка, то согласно (1.13) вычисление определителя го порядка сводится к вычислению определителей го порядка.

ПРИМЕР 1.1.10

Вычислить определитель

Решение. Согласно (1.13) получим

Определители го порядка имеют те же свойства, что и определители третьего порядка. Их справедливость проверяется с помощью соотношения (1.10).

Выберем в определителе элемент , где

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.11 Минором элемента определителя го порядка называется определитель го порядка, полученный из вычеркиванием его й строки и го столбца.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.12 Алгебраическим дополнением элемента называется минор этого элемента, взятый с дополнительным знаком , т.е.

где (1.14)

Для определителей го порядка также остается справедливой теорема разложения, т.е. определитель го порядка равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на алгебраические дополнения этих элементов

(1.15)

Равенство (1.15) содержат формул, по каждой из которых можно произвести вычисление определителя.

На практике полезно перед применением теоремы разложения преобразовать определитель с помощью его свойств так, чтобы в одной из его строк (столбцов) образовалось максимальное число нулевых элементов.

ПРИМЕР 1.1.11

Вычислить определитель

Решение. Вычитая из второго столбца первый, а из четвертого столбца третий, найдем

так как образовавшийся определитель содержит два одинаковых столбца.

Поделиться с друзьями