Пусть дана квадратная матрица А n-го порядка
Определитель n-го порядка, соответствующий квадратной матрице А, обозначается символом
![]() |
(1.12) |
и определяется как число
![]() |
(1.13) |
где есть миноры соответствующих элементов
, т.е. определители
го порядка, полученные из данного вычеркиванием его первой строки и соответственно первого, второго,. . . ,
го его столбцов.
Например,
Так как каждый минор , где
есть определитель
го порядка, то согласно (1.13) вычисление определителя
го порядка сводится к вычислению
определителей
го порядка.
ПРИМЕР 1.1.10
Вычислить определитель
Решение. Согласно (1.13) получим
Определители го порядка имеют те же свойства, что и определители третьего порядка. Их справедливость проверяется с помощью соотношения (1.10).
Выберем в определителе элемент
, где
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.11 Минором элемента
определителя
го порядка называется определитель
го порядка, полученный из
вычеркиванием его
й строки и
го столбца.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.12 Алгебраическим дополнением элемента
называется минор
этого элемента, взятый с дополнительным знаком
, т.е.
![]() ![]() |
(1.14) |
Для определителей го порядка также остается справедливой теорема разложения, т.е. определитель
го порядка равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на алгебраические дополнения этих элементов
![]() |
(1.15) |
Равенство (1.15) содержат формул, по каждой из которых можно произвести вычисление определителя.
На практике полезно перед применением теоремы разложения преобразовать определитель с помощью его свойств так, чтобы в одной из его строк (столбцов) образовалось максимальное число нулевых элементов.
ПРИМЕР 1.1.11
Вычислить определитель
Решение. Вычитая из второго столбца первый, а из четвертого столбца третий, найдем
так как образовавшийся определитель содержит два одинаковых столбца.