Определители третьего порядка с примерами

Помощь по математике

Пусть дана квадратная матрица третьего порядка

Определитель 3 порядка image002.gif

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.8



Определителем третьего порядка, соответствующим данной квадратной матрице А, называется число

Определитель 3 порядка image004.gif (1.7)

Определитель 3 порядка image006.gif

Определитель третьего порядка обозначается символом

Определитель 3 порядка image008.gif (1.8)

где числа Определитель 3 порядка image010.gif называются его элементами.

Индексы Определитель 3 порядка image012.gif у элемента Определитель 3 порядка image014.gif показывают номера строки и столбца, на пересечении которых записан этот элемент.

Например, элемент Определитель 3 порядка image016.gif расположен на пересечении второй строки Определитель 3 порядка image018.gif и третьего столбца Определитель 3 порядка image020.gif.

Элементы Определитель 3 порядка image022.gif образуют главную диагональ определителя, а элементы Определитель 3 порядка image024.gif побочную диагональ.

Определение имеет сложный по форме вид, поэтому для нахождения определителя третьего порядка предложены более простые правила. Так, согласно правилу треугольников необходимо:

  1. вычислить с собственными знаками произведения элементов , лежащих на главной диагонали и в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны этой диагонали ;
  2. найти произведения элементов, лежащих на побочной диагонали и в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали, и взять их с противоположными знаками ;
  3. найти общую сумму всех произведений.

ПРИМЕР 1.1.7

Определитель 3 порядка image026.gif

Все свойства определителей второго порядка справедливы и для определителей третьего порядка. Доказательства этих свойств основаны на вычислении определителя третьего порядка по формуле (1.7).

Например, покажем, что определитель, у которого элементы двух его строк пропорциональны, равен нулю. Действительно,

Определитель 3 порядка image028.gif

Определитель 3 порядка image030.gif

Аналогично проверяется справедливость и других свойств.

Пусть дан определитель (1.8) третьего порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.9: Минором Определитель 3 порядка image032.gif элемента Определитель 3 порядка image014.gif, где Определитель 3 порядка image035.gif определителя третьего порядка, называется определитель второго порядка, полученный из данного вычеркиванием Определитель 3 порядка image037.gifй строки и Определитель 3 порядка image039.gifго столбца. Так, например, минор Определитель 3 порядка image041.gif элемента Определитель 3 порядка image016.gif есть определитель

Определитель 3 порядка image044.gif а минор элемента Определитель 3 порядка image046.gif есть Определитель 3 порядка image048.gif

С помощью миноров определитель (7) можно записать в виде

Определитель 3 порядка image050.gif (1.9)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.10: Алгебраическим дополнением Определитель 3 порядка image052.gif элемента Определитель 3 порядка image014.gif, где Определитель 3 порядка image035.gif, называется минор Определитель 3 порядка image032.gif этого элемента, взятый со знаком Определитель 3 порядка image057.gif. По определению 4.3 имеем

Определитель 3 порядка image059.gifгде Определитель 3 порядка image035.gif/ (1.10)

Например,

Определитель 3 порядка image062.gif

Определитель 3 порядка image064.gif и т.д.

ТЕОРЕМА 1.1 Разложение определителя по элементам строки или столбца

Определитель третьего порядка равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения. Иными словами, имеют место шесть равенств:

Определитель 3 порядка image066.gif

Определитель 3 порядка image068.gif

(1.11)

Проверим, например, справедливость равенства

Определитель 3 порядка image070.gif

Согласно определениям минора и алгебраического дополнения получим

Определитель 3 порядка image072.gif

Определитель 3 порядка image074.gif Определитель 3 порядка image076.gif

Определитель 3 порядка image078.gif

Определитель 3 порядка image080.gif

ТЕОРЕМА 1.2 Сумма произведений элементов какой- либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения элементов любой другой его строки (столбца) равна нулю.

Для определенности выберем элементы Определитель 3 порядка image082.gif первой строки и алгебраические дополнения Определитель 3 порядка image084.gif элементов второй строки определителя. Составим сумму произведений Определитель 3 порядка image086.gif и покажем, что эта сумма равна нулю.

Действительно,

Определитель 3 порядка image088.gif

Определитель 3 порядка image090.gif

Аналогично проверяется равенство нулю и всех других подобных сумм.

В заключение рассмотрим схему использования свойств определителя и теоремы разложения при вычислении определителя.

ПРИМЕР 1.1.8

Вычислить определитель Определитель 3 порядка image092.gif

Решение. Разложим определитель по элементам третьей строки.

Определитель 3 порядка image094.gif

Определитель 3 порядка image096.gif

ПРИМЕР 1.1.9

Вычислить определитель Определитель 3 порядка image098.gif

Решение. Прибавляя ко второй строке первую, умноженную на — 8,

получим Определитель 3 порядка image100.gif Раскладывая этот определитель по элементам второй его строки, найдем

Определитель 3 порядка image102.gif

Поделиться с друзьями