Векторное произведение векторов

Помощь по математике

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.35

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , удовлетворяющий условиям:



1) длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, т.е.

2) вектор перпендикулярен обоим векторам и ;

3) вектор направлен в ту сторону, что если смотреть из его конца вдоль вектора, то кратчайший поворот вектора к вектору виден совершающимся против движения часовой стрелки. Векторное произведение вектора на вектор обозначаемся символом .

Введем декартовую систему координат и рассмотрим векторные произведения единичных векторов . Покажем, что .

Действительно, если , то по определению векторного произведения:

1)

2) Но и

3) если смотреть с конца вектора или , то кратчайший поворот вектора к вектору виден происходящим против движения часовой стрелки (рис. 1.1.20).

Рисунок 1.1.20

Итак, . Следовательно,

Аналогично доказывается, что

(1.60)

Повторив вышеприведенные рассуждения для произвольных векторов и можно убедиться, что векторное произведение обладает свойствами:

  1. для
  2. , если или хотя бы один из векторов есть нулевой вектор;

Найдем выражение для векторного произведения векторов, заданных своими координатами. Пусть Тогда, согласно свойствам 2,3,4 и равенствам (1.60), получим

Итак, если то

(1.61)

ПРИМЕР 1.1.24

Сила приложена к точке . Определить момент силы относительно начала координат.

Решение Пусть точка есть некоторая точка . Моментом силы , приложенной к точке , относительно точки называется вектор . По условию . Тогда, согласно формуле (61), получим

. Ответ:

ПРИМЕР 1.1.25

Даны вершины треугольника и Вычислить площадь этого треугольника.

Решение Найдем векторы (рис. 1.1.21). Имеем:

Рисунок 1.1.21

Так как равен площади параллелограмма , то площадь треугольника найдется по формуле

Ответ: 14

Из приведенных примеров следует, что векторное произведение в геометрии применяется при определении площадей многоугольников, в механике — при вычислении моментов.

Поделиться с друзьями