ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.35
Векторным произведением вектора 
на вектор 
называется вектор 
, удовлетворяющий условиям:
1) длина вектора 
численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах 
и 
как на сторонах, т.е.
2) вектор 
перпендикулярен обоим векторам 
и 
;
3) вектор 
направлен в ту сторону, что если смотреть из его конца вдоль вектора, то кратчайший поворот вектора 
к вектору 
виден совершающимся против движения часовой стрелки. Векторное произведение вектора 
на вектор 
обозначаемся символом 
.
Введем декартовую систему координат и рассмотрим векторные произведения единичных векторов 
. Покажем, что 
.
Действительно, если 
, то по определению векторного произведения:
1) 
2) 
Но и 
3) если смотреть с конца вектора 
или 
, то кратчайший поворот вектора 
к вектору 
виден происходящим против движения часовой стрелки (рис. 1.1.20).
Рисунок 1.1.20
Итак, 
. Следовательно, 
Аналогично доказывается, что
|
(1.60) |
Повторив вышеприведенные рассуждения для произвольных векторов 
и 
можно убедиться, что векторное произведение обладает свойствами:
для 
, если 
или хотя бы один из векторов есть нулевой вектор;
Найдем выражение для векторного произведения векторов, заданных своими координатами. Пусть 
Тогда, согласно свойствам 2,3,4 и равенствам (1.60), получим
Итак, если 
то
 |
(1.61) |
ПРИМЕР 1.1.24
Сила 
приложена к точке 
. Определить момент силы относительно начала координат.
Решение Пусть точка 
есть некоторая точка 
. Моментом силы 
, приложенной к точке 
, относительно точки 
называется вектор 
. По условию 
. Тогда, согласно формуле (61), получим
. Ответ:
ПРИМЕР 1.1.25
Даны вершины треугольника 
и 
Вычислить площадь этого треугольника.
Решение Найдем векторы 
(рис. 1.1.21). Имеем:
Рисунок 1.1.21
Так как 
равен площади параллелограмма 
, то площадь 
треугольника 
найдется по формуле
Ответ: 14
Из приведенных примеров следует, что векторное произведение в геометрии применяется при определении площадей многоугольников, в механике — при вычислении моментов.