ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.35
Векторным произведением вектора на вектор
называется вектор
, удовлетворяющий условиям:
1) длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах
и
как на сторонах, т.е.
2) вектор перпендикулярен обоим векторам
и
;
3) вектор направлен в ту сторону, что если смотреть из его конца вдоль вектора, то кратчайший поворот вектора
к вектору
виден совершающимся против движения часовой стрелки. Векторное произведение вектора
на вектор
обозначаемся символом
.
Введем декартовую систему координат и рассмотрим векторные произведения единичных векторов . Покажем, что
.
Действительно, если , то по определению векторного произведения:
1)
2) Но и
3) если смотреть с конца вектора или
, то кратчайший поворот вектора
к вектору
виден происходящим против движения часовой стрелки (рис. 1.1.20).
Рисунок 1.1.20
Итак, . Следовательно,
Аналогично доказывается, что
![]() |
(1.60) |
Повторив вышеприведенные рассуждения для произвольных векторов и
можно убедиться, что векторное произведение обладает свойствами:
для
, если
или хотя бы один из векторов есть нулевой вектор;
Найдем выражение для векторного произведения векторов, заданных своими координатами. Пусть Тогда, согласно свойствам 2,3,4 и равенствам (1.60), получим
Итак, если то
![]() |
(1.61) |
ПРИМЕР 1.1.24
Сила приложена к точке
. Определить момент силы относительно начала координат.
Решение Пусть точка есть некоторая точка
. Моментом силы
, приложенной к точке
, относительно точки
называется вектор
. По условию
. Тогда, согласно формуле (61), получим
. Ответ:
ПРИМЕР 1.1.25
Даны вершины треугольника и
Вычислить площадь этого треугольника.
Решение Найдем векторы (рис. 1.1.21). Имеем:
Рисунок 1.1.21
Так как равен площади параллелограмма
, то площадь
треугольника
найдется по формуле
Ответ: 14
Из приведенных примеров следует, что векторное произведение в геометрии применяется при определении площадей многоугольников, в механике — при вычислении моментов.