Смешанное произведение векторов

Помощь по математике

Пусть даны три вектора Смешанное произведение 002.gif. Так как для векторов введены два вида произведений — скалярное и векторное, то для трех векторов относительно операции умножения существуют следующие виды произведений:



1)двойное векторное произведение, т.е. произведение, в котором вначале находится векторное произведение двух из заданных векторов, затем векторное произведение полученного вектора на третий из данных векторов.

Например, вначале находится векторное произведение Смешанное произведение 004.gif, затем — векторное произведение Смешанное произведение 006.gif;

2)смешанное произведение, т.е. произведение, в котором вначале находится векторное произведение двух из заданных векторов, затем скалярное произведение полученного вектора на третий из данных векторов.

Например, вначале находится векторное произведение Смешанное произведение 008.gif, затем — скалярное произведение Смешанное произведение 010.gif.

Двойное векторное произведение обозначается в форме Смешанное произведение 012.gif или в форме Смешанное произведение 014.gif

Ясно, что результатом двойного векторного произведения является вектор.

Смешанное или иначе векторно-скалярное произведение обозначается символом Смешанное произведение 016.gif или символом Смешанное произведение 018.gif. Результатом смешанного произведения является число.

Пусть требуется определить смешанное произведение векторов, если известны координаты этих векторов

Смешанное произведение 020.gif.

Вычислим предварительно Смешанное произведение 022.gif Имеем

Смешанное произведение 024.gif

Воспользовавшись формулой (1.57), найдем

Смешанное произведение 026.gif

Полученное равенство, согласно теореме о разложении определителя по элементам строки, можно переписать в форме

Смешанное произведение 028.gif (1.62)

Формула (1.62) дает выражение для смешанного произведения в координатной форме. Заметим, что в этой формуле координаты векторов Смешанное произведение 002.gifзаписаны соответственно в первой, второй и третьей строках определителя.

Покажем, что для смешанного произведения векторов справедливы равенства

Смешанное произведение 031.gif (1.63)

Проверим, например, справедливость равенства Смешанное произведение 033.gif Согласно формуле (1.62) имеем

Смешанное произведение 035.gif

Как известно, при перестановке двух срок определителя знак определителя меняется на противоположный. Тогда, умножая обе части предыдущего равенства на Смешанное произведение 037.gif, получим

Смешанное произведение 039.gif

Итак, Смешанное произведение 033.gif

Формулы (1.63) проще всего запомнить с помощью правила круговой перестановки векторов, сущность которого пояснена на рис.1.1.25 и 1.1.26.

Смешанное произведение 041.gif

Рисунки 1.1.25 и 1.1.26

Выясним геометрический смысл смешанного произведения векторов Смешанное произведение 043.gif. Отложим векторы Смешанное произведение 002.gif от общего начала и построим на этих векторах, как на ребрах, параллелепипед (рис.1.1.27).

Смешанное произведение 045.gif

Рисунок 1.1.27

Пусть Смешанное произведение 008.gif. Тогда, согласно определения векторного произведения векторов, модуль вектора Смешанное произведение 048.gif равен площади Смешанное произведение 050.gif параллелограмма, построенного на векторах Смешанное произведение 052.gif как на сторонах. Следовательно,

Смешанное произведение 054.gif где Смешанное произведение 056.gif

Обозначим через Смешанное произведение 058.gif высоту параллелепипеда, опущенную из конца вектора Смешанное произведение 060.gif на рассматриваемый параллелограмм, и выясним смысл произведения Смешанное произведение 062.gif. Вектор Смешанное произведение 048.gif перпендикулярен плоскости параллелограмма, тогда

Смешанное произведение 065.gifесли Смешанное произведение 067.gif и

Смешанное произведение 069.gif, если Смешанное произведение 071.gif

Следовательно, если Смешанное произведение 073.gif есть объем параллелепипеда, то

Смешанное произведение 075.gif, если Смешанное произведение 067.gif и

Смешанное произведение 078.gif,если Смешанное произведение 071.gif

Итак,

Смешанное произведение 081.gif или Смешанное произведение 083.gif (1.64)

Равенство (1.64) означает, что модуль смешанного произведения трех векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах.

Следствие (условие компланарности трех векторов). Для того, чтобы три вектора Смешанное произведение 002.gif были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю, т.е. Смешанное произведение 086.gif или в координатной форме

Смешанное произведение 088.gif (1.65)

Необходимость Пусть векторы Смешанное произведение 002.gifкомпланарны. Тогда вектор Смешанное произведение 091.gif перпендикулярен плоскости, в которой расположены данные векторы, следовательно, перпендикулярен вектору Смешанное произведение 060.gif. Поэтому

Смешанное произведение 094.gif Следовательно, Смешанное произведение 096.gif

Достаточность Пусть векторы Смешанное произведение 002.gif таковы, что Смешанное произведение 096.gif

Если предположить, что векторы не компланарны, то на них можно построить параллелепипед с объемом Смешанное произведение 100.gif. Но, согласно формуле (64)

Смешанное произведение 102.gif Следовательно, Смешанное произведение 104.gif или, Смешанное произведение 106.gif, что противоречит исходному утверждению.

ПРИМЕР 1.1.26

Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами в точках Смешанное произведение 108.gif

Решение. Построим три вектора

Смешанное произведение 110.gif с общим началом точкой Смешанное произведение 112.gif. На этих векторах, как на ребрах, построим параллелепипед. Его объем равен Смешанное произведение 114.gif Объем пирамиды Смешанное произведение 116.gif составляет шестую долю объема параллелепипеда. Следовательно,

Смешанное произведение 118.gif

Смешанное произведение 120.gif Ответ: 3

Из геометрического смысла смешанного произведения векторов и рассмотренного примера следует, что оно широко используется при вычислении объемов любых многогранников.

Поделиться с друзьями