Прежде чем дать определение гипергеометрического распределения, рассмотрим задачу. Пусть в партии из N изделий имеется М стандартных (М < N). Из партии случайно отбирают п изделий (каждое изделие может быть извлечено с одинаковой вероятностью), причем отобранное изделие перед отбором следующего не возвращается в партию (поэтому формула Бернулли здесь неприменима). Обозначим через Х случайную величину — число m стандартных изделий среди n отобранных. Очевидно, возможные значения Х : 0, 1, 2, …, min(М, n).

Найдем вероятность того, что Х = m, т. е. что среди n отобранных изделий ровно m стандартных. Используем для этого классическое определение вероятности.

Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь n изделий из N изделий, т. е. числу сочетаний .

Найдем число исходов, благоприятствующих событию Х=m (среди взятых n изделий ровно m стандартных); m стандартных изделий можно извлечь из М стандартных изделий способами; при этом остальные n-m изделий должны быть нестандартными; взять же n-m нестандартных изделий из N-m нестандартных изделий можно способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно .

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию Х=m, к числу всех элементарных исходов

.

Данная формула определяет распределение вероятностей, которое называют гипергеометрическим.

Учитывая, что m — случайная величина, заключаем, что гипергеометрическое распределение определяется тремя параметрами: N, М, n. Иногда в качестве параметров этого распределения рассматривают N, n и p=M/N, где р — вероятность того, что первое извлеченное изделие стандартное.

Заметим, что если n значительно меньше N (практически если n < 0,1N), то гипергеометрическое распределение дает вероятности, близкие к вероятностям, найденным по биномиальному закону.

ПРИМЕР 13.1.28 Среди 12 изделий имеется 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 5 изделий окажется ровно 3 стандартных.

Решение По условию N=12, М=8, n=5, m=3. Искомая вероятность

.

Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >